«Лицей» Г. Балашиха из 9 в 10 класс 2019 год Технологический класс

ЛИЦЕЙ Г. БАЛАШИХА

2019 год

Технологический класс

1. Решите неравенство: \[ \frac{x + 3}{\lvert x - 2\rvert - 1} \;\ge\; 1. \]
   
   
2. Решите задачу: Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 12 часов. Первая труба может наполнить бассейн на 10 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов первая труба, работая отдельно, заполнит 75% бассейна, а вторая труба (также работая самостоятельно) заполнит 60% бассейна?
   
   
3. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a\sqrt{3} + 3\sqrt{b}}{(a\sqrt{3} - \sqrt{b})^2} \;+\; \frac{a\sqrt{3} - 3\sqrt{b}}{3a^2 - b}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\frac{3a^2 + 3b}{(a\sqrt{3} - \sqrt{b})^2}\Bigr)^{-1} \;\cdot\; \frac{3a^2 + 2a\sqrt{3b} + b}{\sqrt{\,11 - 4\sqrt{7} - \sqrt{7}\,}} \;+\; a\sqrt{3}. \]
   
   
4. Решите задачу: В трапеции \(ABCD\) с диагональю \(AC\) углы \(\angle ABC\) и \(\angle ACD\) равны. Найдите длину диагонали \(AC\), если основания \(BC\) и \(AD\) соответственно равны 12 см и 27 см.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \frac{x + 3}{\lvert x - 2\rvert - 1} \;\ge\; 1 \]
   Решение: Рассмотрим область допустимых значений: \[ |x - 2| - 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 1, \; x \neq 3 \] Преобразуем неравенство: \[ \frac{x + 3}{|x - 2| - 1} - 1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x + 4 - |x - 2|}{|x - 2| - 1} \ge 0 \] Случай 1: \(x \ge 2\) \[ |x - 2| = x - 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{6}{|x - 3|} \ge 0 \] Знаменатель положителен при \(x > 3\). Решение: \(x \in (3; +\infty)\). Случай 2: \(x < 2\) \[ |x - 2| = 2 - x \quad \Rightarrow \quad \frac{2x + 2}{1 - x} \ge 0 \] Метод интервалов даёт решение: \(x \in [-1; 1)\). Объединяя решения и учитывая ОДЗ: \[ x \in [-1; 1) \cup (3; +\infty) \] Ответ: \(x \in [-1; 1) \cup (3; +\infty)\).
   
   
2. Решите задачу: Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 12 часов. Первая труба может наполнить бассейн на 10 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов первая труба, работая отдельно, заполнит 75% бассейна, а вторая труба заполнит 60% бассейна?
   Решение: Пусть первая труба заполняет бассейн за \(x\) часов, вторая — за \(x + 10\) часов. Совместная скорость: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12} \] Решая уравнение, получим \(x = 20\) часов (первая труба), \(x + 10 = 30\) часов (вторая труба). Время заполнения частей: \[ 0.75 \cdot 20 = 15 \;\text{ч}, \quad 0.6 \cdot 30 = 18 \;\text{ч} \] Ответ: 15 часов и 18 часов.
   
   
3. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a\sqrt{3} + 3\sqrt{b}}{(a\sqrt{3} - \sqrt{b})^2} \;+\; \frac{a\sqrt{3} - 3\sqrt{b}}{3a^2 - b}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\frac{3a^2 + 3b}{(a\sqrt{3} - \sqrt{b})^2}\Bigr)^{-1} \]
   Решение: Рассмотрим первую дробь: \[ \frac{a\sqrt{3} + 3\sqrt{b}}{(a\sqrt{3} - \sqrt{b})^2} \] Вторая дробь равна: \[ \frac{a\sqrt{3} - 3\sqrt{b}}{(a\sqrt{3} - \sqrt{b})(a\sqrt{3} + \sqrt{b})} \] Суммируя и упрощая выражения, получим: \[ \frac{6(a² + b)}{(a\sqrt{3} - \sqrt{b})^2(a\sqrt{3} + \sqrt{b})} \] Умножая на обратную величину второго множителя: \[ \frac{2}{a\sqrt{3} + \sqrt{b}} \] Ответ: упрощённое выражение равно \(a\sqrt{3}\).
   
   
4. Решите задачу: В трапеции \(ABCD\) с диагональю \(AC\) углы \(\angle ABC\) и \(\angle ACD\) равны. Найдите длину диагонали \(AC\), если основания \(BC\) и \(AD\) соответственно равны 12\,см и 27\,см.
   Решение: Подобие треугольников \(ABC\) и \(DCA\) позволяет записать: \[ \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{AC} \quad \Rightarrow \quad AC^2 = BC \cdot AD \] Подставляя значения: \[ AC^2 = 12 \cdot 27 = 324 \quad \Rightarrow \quad AC = 18 \;\text{см} \] Ответ: 18 см.