«Лицей» Г. Балашиха из 9 в 10 класс 2019 год Естественно научный класс

ЛИЦЕЙ Г. БАЛАШИХА

2019 год

Естественно научный класс

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{3}{x - y} + \frac{3x}{x^3 - y^3}\,\cdot\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}\Bigr) :\frac{2x + y}{x^2 + 2xy + y^2}\,\cdot\frac{3}{x + y}. \]
   
   
2. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert 2x + 1\rvert}{x^2 - x - 2} \;\ge\; 3. \]
   
   
3. Решите систему уравнений и найдите значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$, где пары чисел $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ являются её решениями: \[ \begin{cases} x^2 + xy = 6,\\ 7x - xy = 2. \end{cases} \]
   
   
4. Решите задачу:
   
   Две бригады, работая одновременно, могут выполнить некоторое задание за 6 дней. Одна бригада, работая отдельно, может выполнить это задание на 5 дней быстрее, чем вторая. За какое время вторая бригада, работая отдельно, может выполнить всё задание?
   
   
5. Решите задачу:
   
   Около окружности радиуса 5 см описана трапеция, сумма длин боковых сторон которой равна 12 см. Найдите площадь этой трапеции.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{3}{x - y} + \frac{3x}{x^3 - y^3}\,\cdot\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}\Bigr) :\frac{2x + y}{x^2 + 2xy + y^2}\,\cdot\frac{3}{x + y}. \] Решение:
   1. Упростим вторую дробь внутри скобки: \[ \frac{x^3 - y^3}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}, \text{ поэтому } \frac{3x}{x^3 - y^3} \cdot \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y} = \frac{3x}{(x - y)(x + y)}. \] 2. Сложим дроби в скобке: \[ \frac{3}{x - y} + \frac{3x}{(x - y)(x + y)} = \frac{3(x + y) + 3x}{(x - y)(x + y)} = \frac{6x + 3y}{(x - y)(x + y)}. \] 3. Разделим на дробь $\frac{2x + y}{(x + y)^2}$ и умножим на $\frac{3}{x + y}$: \[ \frac{6x + 3y}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{(x + y)^2}{2x + y} \cdot \frac{3}{x + y} = \frac{3(2x + y)}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{(x + y)^2}{2x + y} \cdot \frac{3}{x + y} = \frac{9}{x - y}. \] Ответ: $\frac{9}{x - y}$.
2. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert 2x + 1\rvert}{x^2 - x - 2} \;\ge\; 3. \] Решение:
   1. Найдем ОДЗ: \[ x^2 - x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq -1. \] 2. Рассмотрим два случая для модуля:
   • Случай 1: $2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -0.5$: \[ \frac{2x + 1}{(x - 2)(x + 1)} \geq 3 \Rightarrow 2x + 1 \geq 3(x^2 - x - 2) \Rightarrow 3x^2 - 5x - 7 \leq 0. \] Корни уравнения $3x^2 - 5x - 7 = 0$: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 84}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{109}}{6}. \] Решение неравенства: \[ x \in \left[\frac{5 - \sqrt{109}}{6}, \frac{5 + \sqrt{109}}{6}\right]. \] Учитывая $x \geq -0.5$, получаем $x \in \left[-0.5, \frac{5 + \sqrt{109}}{6}\right)$.
   • Случай 2: $2x + 1 < 0 \Rightarrow x < -0.5$: \[ \frac{-(2x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} \geq 3 \Rightarrow -2x - 1 \geq 3(x^2 - x - 2) \Rightarrow 3x^2 - x - 5 \leq 0. \] Корни уравнения $3x^2 - x - 5 = 0$: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 60}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{6}. \] Решение неравенства: \[ x \in \left[\frac{1 - \sqrt{61}}{6}, \frac{1 + \sqrt{61}}{6}\right]. \] Учитывая $x < -0.5$ и $x \neq -1$, решений нет.
   Объединяя результаты: \[ x \in \left[-0.5, 2\right) \cup \left(2, \frac{5 + \sqrt{109}}{6}\right]. \] Ответ: $x \in \left[-0.5, 2\right) \cup \left(2, \frac{5 + \sqrt{109}}{6}\right]$.
3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + xy = 6,\\ 7x - xy = 2. \end{cases} \] Решение:
   1. Сложим уравнения: \[ x^2 + xy + 7x - xy = 8 \Rightarrow x^2 + 7x - 8 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = -8. \] 2. Подставим в первое уравнение:
   • Для $x = 1$: \[ 1 + y = 6 \Rightarrow y = 5. \]
   • Для $x = -8$: \[ 64 - 8y = 6 \Rightarrow 8y = 58 \Rightarrow y = 7.25. \]
   3. Вычислим $x_1y_1 + x_2y_2$: \[ 1 \cdot 5 + (-8) \cdot 7.25 = 5 - 58 = -53. \] Ответ: $-53$.
4. Две бригады выполняют задание за 6 дней. Первая бригада работает на 5 дней быстрее. Найдите время второй бригады.
   Решение:
   1. Пусть время второй бригады — $x$ дней, тогда первой — $x - 5$ дней. Производительности: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{6}. \] 2. Решим уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{2x - 5}{x(x - 5)} = \frac{1}{6} \Rightarrow 12x - 30 = x^2 - 5x \Rightarrow x^2 - 17x + 30 = 0. \] Корни: \[ x = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 120}}{2} = \frac{17 \pm 13}{2} \Rightarrow x = 15 \text{ (дней)}. \] Ответ: 15 дней.
5. Около окружности радиуса 5 см описана трапеция с суммой боковых сторон 12 см. Найдите площадь.
   Решение:
   1. В описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = 12$ см. 2. Площадь трапеции: \[ S = r \cdot (a + b) = 5 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2. \] Ответ: 60 см².