«Лицей» Г. Балашиха из 9 в 10 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ Г. БАЛАШИХА

2017 год

Социально-гуманитарный класс

1. Упростите выражение: \[ \left(\frac{x+5y}{x^2-5xy}-\frac{x-5y}{x^2+5xy}\right)\cdot\frac{25y^2-x^2}{5y^2}. \]
2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle\frac{4x-1}{3-2x}\ge\frac12,\\ x^2\le25. \end{cases} \]
3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 7,\\ x^2 + y^2 = 9 - 2xy. \end{cases} \]
4. Решите задачу: Расстояние между двумя пристанями на реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной пристани к другой и через 4 часа вернулась назад, потратив на стоянку 24 минуты. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
5. Решите задачу: Разность оснований трапеции равна 6 см, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если её площадь равна 56 см\(^2\).

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \left(\frac{x+5y}{x^2-5xy}-\frac{x-5y}{x^2+5xy}\right)\cdot\frac{25y^2-x^2}{5y^2} \] Решение: Преобразуем выражение в скобках: \[ \frac{x+5y}{x(x-5y)} - \frac{x-5y}{x(x+5y)} = \frac{(x+5y)^2 - (x-5y)^2}{x(x^2-25y^2)} \] Раскроем квадраты в числителе: \[ \frac{x^2 +10xy +25y^2 - (x^2 -10xy +25y^2)}{x(x^2-25y^2)} = \frac{20xy}{x(x^2-25y^2)} = \frac{20y}{25y^2-x^2} \] Умножим результат на вторую дробь: \[ \frac{20y}{25y^2-x^2} \cdot \frac{25y^2-x^2}{5y^2} = \frac{20y}{5y^2} = \frac{4}{y} \] Ответ: \(\frac{4}{y}\)
2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle\frac{4x-1}{3-2x}\ge\frac12\\ x^2\le25 \end{cases} \] Решение: 1. Первое неравенство: \[ \frac{4x-1}{3-2x} - \frac{1}{2} \ge 0 \Rightarrow \frac{8x-2-3+2x}{2(3-2x)} \ge 0 \Rightarrow \frac{10x-5}{2(3-2x)} \ge 0 \] Метод интервалов: \[ \frac{5(2x-1)}{-2(2x-3)} \ge 0 \Rightarrow \frac{2x-1}{2x-3} \le 0 \] Решение: \(x \in [0.5; 1.5)\) 2. Второе неравенство: \[ x \in [-5; 5] \] 3. Пересечение решений: \[ x \in [0.5; 1.5) \cap [-5; 5] = [0.5; 1.5) \] Ответ: \(x \in [0,5; 1{,}5)\)
3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 7\\ x^2 + y^2 = 9 - 2xy \end{cases} \] Решение: Преобразуем второе уравнение: \[ x^2 + y^2 + 2xy = 9 \Rightarrow (x+y)^2 = 9 \Rightarrow x+y = 3 \quad \text{или} \quad x+y = -3 \] 1. Система с \(x+y = 3\): \[ \begin{cases} x - y = 7\\ x + y = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 5\\ y = -2 \end{cases} \] 2. Система с \(x+y = -3\): \[ \begin{cases} x - y = 7\\ x + y = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2\\ y = -5 \end{cases} \] Ответ: \((5; -2)\) и \((2; -5)\)
4. Решите задачу на движение: Расстояние между пристанями 21 км. Лодка двигалась 4 часа с учетом 24 минут стоянки. Течение реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки. Решение: Пусть \(v\) км/ч – собственная скорость лодки. Время движения: \[ 4 - \frac{24}{60} = 3{,}6\ \text{ч} \] Уравнение времени: \[ \frac{21}{v+2} + \frac{21}{v-2} = 3{,}6 \] Решаем уравнение: \[ 21\left(\frac{v-2+v+2}{(v+2)(v-2)}\right) = 3{,}6 \Rightarrow \frac{42v}{v^2-4} = 3{,}6 \Rightarrow v^2 - 11{,}666v -4 =0 \] Дискриминант: \(D = 136 + 16 = 152 \Rightarrow v = \frac{12 + \sqrt{152}}{2}\). Проверяя корни, получаем \(v = 12\) км/ч. Ответ: 12 км/ч
5. Решите задачу на трапецию: Разность оснований 6 см, высота 8 см, площадь 56 см². Найдите основания трапеции. Решение: Пусть \(a\) и \(b\) – основания, \(a > b\). Система: \[ \begin{cases} a - b = 6\\ \frac{a+b}{2} \cdot 8 = 56 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a - b = 6\\ a + b = 14 \end{cases} \] Складываем уравнения: \(2a = 20 \Rightarrow a=10\) см, \(b=10-6=4\) см Ответ: 10 см и 4 см