«Лицей» Г. Балашиха из 9 в 10 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ Г. БАЛАШИХА

2017 год

Химико-биологический класс

1. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert x\rvert - 4}{\lvert x - 3\rvert - 1} \;\ge\; 1. \]
2. Решите задачу: Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
3. Решите задачу: Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 10 и делит прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите длину меньшего из катетов.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert x\rvert - 4}{\lvert x - 3\rvert - 1} \;\ge\; 1. \]
   Решение: Найдем область допустимых значений: \[ \lvert x - 3\rvert \neq 1 \;\Rightarrow\; x \neq 2 \text{ и } x \neq 4. \] Преобразуем неравенство: \[ \frac{\lvert x\rvert -4}{\lvert x -3\rvert -1} -1 \ge 0 \;\Rightarrow\; \frac{\lvert x\rvert - \lvert x -3\rvert -3}{\lvert x -3\rvert -1} \ge 0. \] Рассмотрим случаи раскрытия модулей:
   • При \( x < 0 \): \[ \text{Дробь} = \frac{-6}{2 - x} < 0 \quad \Rightarrow \text{нет решений}. \]
   • При \( 0 \le x < 2 \): \[ \text{Дробь} = \frac{2x -6}{2 -x} < 0 \quad \Rightarrow \text{нет решений}. \]
   • При \( 2 < x 0 \quad \Rightarrow x \in (2,3). \]
   • При \( x =3 \): \[ \text{Дробь} = \frac{0}{0} \text{ (Исключено по ОДЗ)}. \]
   • При \( 3 <x <4 \): \[ \text{Дробь} = \frac{0}{x -4} =0 \quad \Rightarrow \text{решение } x \in [3,4). \]
   • При \( x >4 \): \[ \text{Дробь} = \frac{0}{x -4} \ge 0 \quad \Rightarrow x \in (4, +\infty). \]
   Объединяя решения и учитывая ОДЗ: \[ x \in (2,4) \cup (4, +\infty). \] Ответ: \( x \in (2,4) \cup (4, +\infty) \).
   
   
2. Решите задачу: Смешали $10\%$-ный и $25\%$-ный растворы соли и получили 3 кг $20\%$-ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
   Решение: Пусть взяли \( x \) кг $10\%$-ного раствора и \( y \) кг $25\%$-ного. Составим систему: \[ \begin{cases} x + y =3, \\ 0,1x + 0,25y =0,6. \end{cases} \] Решив систему, получаем: \[ x =1 \text{ кг}, \quad y =2 \text{ кг}. \] Ответ: 1 кг $10\%$-ного и 2 кг $25\%$-ного растворов.
   
   
3. Решите задачу: Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 10 и делит прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите длину меньшего из катетов.
   Решение: Медиана к гипотенузе равна её половине, значит гипотенуза \( AB =20 \). Поскольку медиана делит угол в отношении \( \angle ACM : \angle BCM =1:2 \), углы равны \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \). Тогда меньший катет \( BC \) лежит против угла \( 30^\circ \): \[ BC = AB \cdot \sin{30^\circ} =20 \cdot \frac{1}{2}=10 \text{ см}. \] Ответ: 10 см.