«Лицей» Г. Балашиха из 9 в 10 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ Г. БАЛАШИХА

2017 год

Физико-математический класс

1. Упростите выражение: \[ \frac{ \bigl(2\sqrt{a}-1-2b\bigr)^{2} \Bigl(\frac{2\sqrt{a}-1}{(2\sqrt{a}-1-2b)^{2}}-\frac{2\sqrt{a}-1}{4b^{2}-(2\sqrt{a}-1)^{2}}\Bigr) }{2\sqrt{a}-1} +\frac{4b}{2\sqrt{a}-1+2b}+1. \]
2. Решите неравенство: \[ \frac{25x-14}{5\lvert x\rvert}<5x-4. \]
3. Решите задачу: Двум машинисткам поручено перепечатать рукопись. Сначала первая машинистка работала одна \(7\) дней, а затем к ней присоединилась вторая, после чего они закончили работу за \(8\) дней. Известно, что первой машинистке на выполнение всей работы потребовалось бы на \(7\) дней меньше, чем второй. За какое время могла бы перепечатать эту рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{ \bigl(2\sqrt{a}-1-2b\bigr)^{2} \Bigl(\frac{2\sqrt{a}-1}{(2\sqrt{a}-1-2b)^{2}}-\frac{2\sqrt{a}-1}{4b^{2}-(2\sqrt{a}-1)^{2}}\Bigr) }{2\sqrt{a}-1} +\frac{4b}{2\sqrt{a}-1+2b}+1. \]
   Решение: Обозначим \( A = 2\sqrt{a} - 1 \), \( B = 2b \). Упростим исходное выражение: \[ \frac{(A - B)^2\left(\frac{A}{(A - B)^2} - \frac{A}{B^2 - A^2}\right)}{A} + \frac{B}{A + B} + 1 \] Упростим выражение в скобках: \[ \frac{A}{(A - B)^2} - \frac{A}{(B - A)(B + A)} = \frac{A}{(A - B)^2} + \frac{A}{(A - B)(A + B)} = \frac{A(A + B) + A(A - B)}{(A - B)^2(A + B)} = \frac{2A^2}{(A - B)^2(A + B)} \] Подставляем обратно: \[ \frac{(A - B)^2 \cdot 2A^2}{(A - B)^2(A + B) \cdot A} + \frac{B}{A + B} + 1 = \frac{2A}{A + B} + \frac{B}{A + B} + 1 = \frac{2A + B + A + B}{A + B} = \frac{3A + 2B}{A + B} \] Возвращаемся к исходным обозначениям: \[ \frac{3(2\sqrt{a} - 1) + 4b}{2\sqrt{a} - 1 + 2b} = 3 \] Окончательное упрощение: \[ 3 + 1 = 4 \] Ответ: 4.
   
   
2. Решите неравенство: \[ \frac{25x-14}{5\lvert x\rvert}<5x-4. \]
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{25x - 14}{5|x|} - (5x - 4) < 0 \Rightarrow \frac{25x -14 -25x^2 + 20|x|}{5|x|} < 0 \] Рассмотрим два случая: Случай 1: \( x > 0 \) \[ \frac{-25x^2 +25x -14 +20x}{5x} < 0 \Rightarrow \frac{-25x^2 +45x -14}{5x} < 0 \] Решаем квадратное уравнение: \begin{align*} -25x^2 +45x -14 &=0 \\ 25x^2 -45x +14 &=0 \\ D &=2025 -1400 =625 \\ x &= \frac{45 \pm25}{50} \Rightarrow x_1=1,4 \quad x_2=0,4 \end{align*} Метод интервалов: \( x \in (0;0,4) \cup (1,4;+\infty) \) Случай 2: \( x <0 \) \[ \frac{-25x^2 +25x -14 -20x}{-5x} < 0 \Rightarrow \frac{-25x^2 +5x -14}{-5x} <0 \] Нулей в числителе нет (\( D =25 -1400 <0 \)). Решение: \( x \in (-\infty;0) \) Объединяем решения: \( x \in (-\infty;0) \cup (0;0,4) \cup (1,4;+\infty) \) Ответ: \( x \in (-\infty;0) \cup (0;0,4) \cup (1,4;+\infty) \).
   
   
3. Решите задачу: Пусть первой машинистке требуется \( x \) дней, второй \( x+7 \) дней. Составим уравнение производительности: \[ \frac{7}{x} +8\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+7}\right) =1 \] Преобразуем уравнение: \[ \frac{15}{x} + \frac{8}{x+7} =1 \Rightarrow 15(x+7) +8x =x(x+7) \] Получаем квадратное уравнение: \[ x^2 -16x -105 =0 \Rightarrow D =256 +420=676 \Rightarrow x=21\ \text{(второй корень отрицателен)} \] Ответ: первой машинистке требуется 21 день, второй 28 дней.