8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей 214 из 9 в 10 класс 2017 год Вариант1

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №214 СПБ


2017 год


Вариант 1



1 раздел — Алгебра включает в себя

1.1 Задания вычисительного характера, например:

  1. Найдите значение выражения \[ 0,13\cdot(-10)^3 + 4,6\cdot(-10)^2 \;-\; 870. \]
  2. Найдите значение выражения \[ \bigl(9,8\cdot10^{-2}\bigr)\,\bigl(3\cdot10^{-4}\bigr). \]


1.2 Задания на определение места точки на числовой оси или интервала числовой оси, например: Рассмотрим систему неравенств \[ \begin{cases} x > 9,\\ 8 - x < 0. \end{cases} \] На каком из следующих рисунков изображено множество её решений?


1.3 Применение метода интервалов, например:

  1. \(\displaystyle \frac{9 - 6x}{x + 1} \le 0.\)
  2. \(\displaystyle \frac{(x - 1)(3x - 8)}{6 - x} < 0.\)
  3. \(\displaystyle \frac{x(x - 2)}{1 + 4x} > 0.\)
  4. \(\displaystyle \frac{4x - 9x^2}{10 - x} \ge 0.\)
  5. \(\displaystyle \frac{x^2 - 25}{3 - x} > 0.\)
  6. \(\displaystyle \frac{8x^2 - 2}{3 - x} < 0.\)
  7. \(x^3 - 19x^2 + 84x \le 0.\)
  8. \(\displaystyle \frac{3x - 4}{x} \le -2.\)


1.4 Чтение графиков функций, например: На рисунке приведён график квадратичной функции \(y = f(x)\).



Какие из следующих утверждений о данной функции являются неверными? Запишите их номера.

  1. \(f(1) > f(4).\)
  2. Функция возрастает на промежутке \((-\infty, 3].\)
  3. Наименьшее значение функции равно 3.


1.5 Определение параметров и значений по графику

  1. Найдите значение \(a\) по графику функции \[ y = a x^2 + b x + c, \] изображённому на рисунке.



  2. На рисунке изображён график квадратичной функции \(y = f(x)\). Найдите наибольшее целое значение \(x\), при котором \(f(x) < 0\).



2 раздел — Геометрия включает в себя

2.1 Тема «Треугольники», например:

  1. (№11) В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AB\) угол при вершине \(C\) равен \(68^\circ\). Найдите величину внешнего угла при вершине \(B\). Ответ дайте в градусах.
  2. (№12) В треугольнике \(ABC\) биссектрисы углов пересекаются в точке \(M\). Найдите угол \(\angle ABC\), если он составляет одну треть угла \(\angle AMC\). Ответ дайте в градусах.


2.2 Тема «Четырёхугольники», например:

  1. (№14) Один из углов ромба равен \(110^\circ\). Найдите угол между диагональю и стороной ромба. В ответе укажите меньший из них, в градусах.
  2. (№23) В окружность вписан четырёхугольник, углы которого равны \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(144^\circ\), \(108^\circ\). Найдите величину дуги, на которую опирается больший из углов. Ответ дайте в градусах.
  3. (№31) Найдите углы вписанного в окружность четырёхугольника, если три его угла (в порядке обхода) относятся как \(4 : 7 : 6\). В ответе укажите наибольший из них в градусах.


2.3 Тема «Площади фигур», например:

  1. (№5) В прямоугольнике одна сторона равна 80, а диагональ равна 82. Найдите площадь прямоугольника.
  2. (№7) В прямоугольнике диагональ равна 32, а угол между ней и одной из сторон равен \(60^\circ\). Найдите площадь прямоугольника, делённую на \(\sqrt{3}\).
  3. (№42) В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 44, основание — \(44\sqrt{3}\), а угол, лежащий против основания, равен \(120^\circ\). Найдите площадь треугольника.


2.4 Задания на выбор утверждений

1. Выберите номера верных утверждений.

  1. В треугольнике против большей стороны лежит меньший угол.
  2. Сумма односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей меньше $180^\circ$.
  3. Если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный.


2. Выберите номера неверных утверждений.

  1. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
  2. Диагонали ромба делят углы ромба пополам.
  3. Трапеция равнобедренная, если её боковые стороны параллельны.


3. Выберите номера верных утверждений.

  1. Средний перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
  2. Точка касания двух окружностей лежит на линии центров.
  3. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ 0,13\cdot(-10)^3 + 4,6\cdot(-10)^2 - 870 \] Решение: \[ 0,13 \cdot (-1000) + 4,6 \cdot 100 - 870 = -130 + 460 - 870 = -540 \] Ответ: -540.

  2. Найдите значение выражения: \[ \bigl(9,8\cdot10^{-2}\bigr)\,\bigl(3\cdot10^{-4}\bigr) \] Решение: \[ 9,8 \cdot 3 \cdot 10^{-6} = 29,4 \cdot 10^{-6} = 2,94 \cdot 10^{-5} \] Ответ: \(2,94 \cdot 10^{-5}\).

  3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x > 9,\\ 8 - x 9,\\ x > 8 \end{cases} \Rightarrow x > 9 \] Ответ: Множество решений изображено на рисунке с интервалом \((9; +\infty)\).

  4. Решите неравенство: \[ \frac{9 - 6x}{x + 1} \le 0 \] Решение: Нули числителя: \(x = 1,5\); нуль знаменателя: \(x = -1\). Метод интервалов:
    Решение: \(x \in (-\infty; -1) \cup [1,5; +\infty)\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup [1,5; +\infty)\).

  5. Анализ графика квадратичной функции:
    1. Утверждение 1: \(f(1) > f(4)\) — верно, так как \(x=1\) ближе к максимуму.
    2. Утверждение 2: Функция возрастает до \(x=3\) — верно для левой ветви.
    3. Утверждение 3: Наименьшее значение равно 3 — неверно, минимум ниже.
    Ответ: Неверные утверждения: 3.

  6. Найдите параметр \(a\) по графику: Вершина параболы в точке \((-1; -4)\). Формула вершины: \[ x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -1 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow b = 2a \] Подстановка точки \((0; -3)\): \[ y = a\cdot0^2 + 2a\cdot0 + c = -3 \Rightarrow c = -3 \] Подстановка вершины: \[ -4 = a(-1)^2 + 2a(-1) -3 \Rightarrow a = 1 \] Ответ: \(a = 1\).

  7. Геометрическая задача (равнобедренный треугольник): Угол при вершине \(C = 68^\circ\). Углы при основании: \[ \frac{180^\circ - 68^\circ}{2} = 56^\circ \] Внешний угол при вершине \(B\): \[ 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \] Ответ: 124.

  8. Задача с ромбом: Углы между диагональю и стороной: \[ \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = 35^\circ \quad \text{и} \quad \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \] Ответ: 35.

  9. Площадь прямоугольника: Стороны 80 и \(\sqrt{82^2 - 80^2} = 18\). Площадь: \[ 80 \cdot 18 = 1440 \] Ответ: 1440.

  10. Верные утверждения:
    1. Верно: Если углы при основании равны, треугольник равнобедренный (3).
    2. Неверно: Против большей стороны лежит меньший угол (1).
    3. Верно: Точка касания на линии центров (2).
    Ответ: Верные утверждения: 3, 2; Неверные: 1, 3.
Материалы школы Юайти