Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2025 год вариант 2

1. Уравнение 1. Решите уравнение: \[ \frac{4 - 5x}{20} - \frac{3x - 2}{5} = 3 - \frac{2{,}75x - 10}{10}. \]
2. Сплав. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 12% меди, второй — 30% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 22% меди. Найдите массу третьего сплава.
3. Прямая. Прямая $l$ проходит через точки $A(-3;3)$ и $B(5;5)$. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $C(-4;-6)$ и параллельной прямой $l$.
4. Уравнение 2. Решите уравнение: \[ (5-x)(x+7) = x^2 - 10x + 25. \]
5. Минимум. Найдите, при каком значении $x$ выражение \[ x^2 - 10x + 26 \] принимает минимальное значение.
6. Выражение. Разложите на множители выражение: \[ 15x - 10y - 16x^2 + 8xy - y^2 \] и найдите его значение при $x=2{,}5$ и $y=1{,}5$.
7. Дробь. Вычислите: \[ \dfrac{(4^{10} + 4^8)\cdot 5^6}{(4^9 - 4^7)\cdot 625}. \]
8. Множители. Разложите на множители: \[ x^4 + x^3 - 8x^2 - 32. \]
9. Биссектриса. Биссектриса $AL$ треугольника $ABC$ перпендикулярна медиане $BM$ этого же треугольника. Найдите угол $BAC$, если $\angle MBA = 55^\circ$.
10. Гипотенуза. $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$, $\angle B = 30^\circ$, $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу, $M$ — середина гипотенузы. Найдите отрезок $HM$, если известно, что $AB=8$.

Решения задач

1. Уравнение 1.
   Решение: \[ \frac{4 - 5x}{20} - \frac{3x - 2}{5} = 3 - \frac{2{,}75x - 10}{10} \] Умножим все части уравнения на 20 для устранения знаменателей: \[ (4 - 5x) - 4(3x - 2) = 60 - 2(2{,}75x - 10) \] Раскроем скобки и упростим: \[ 4 - 5x - 12x + 8 = 60 - 5{,}5x + 20 \] \[ -17x + 12 = 80 - 5{,}5x \] Перенесем все члены с \(x\) влево, числа вправо: \[ -11{,}5x = 68 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{68}{11{,}5} = -6 \] Ответ: \(-6\).
2. Сплав.
   Решение: Пусть масса первого сплава \(m\) кг, тогда второго — \(m + 8\) кг. Содержание меди: \[ 0{,}12m + 0{,}3(m + 8) = 0{,}22(2m + 8) \] Решим уравнение: \[ 0{,}12m + 0{,}3m + 2{,}4 = 0{,}44m + 1{,}76 \] \[ -0{,}02m = -0{,}64 \quad \Rightarrow \quad m = 32 \text{ кг} \] Масса третьего сплава: \(2 \cdot 32 + 8 = 72\) кг.
   Ответ: 72 кг.
3. Прямая.
   Решение: Найдем угловой коэффициент прямой \(AB\): \[ k = \frac{5 - 3}{5 - (-3)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Уравнение параллельной прямой через точку \(C(-4;-6)\): \[ y + 6 = \frac{1}{4}(x + 4) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{4}x - 5 \] Ответ: \(y = \frac{1}{4}x - 5\).
4. Уравнение 2.
   Решение: \[ (5 - x)(x + 7) = (x - 5)^2 \] Раскроем скобки: \[ 5x + 35 - x^2 - 7x = x^2 - 10x + 25 \] \[ -x^2 - 2x + 35 = x^2 - 10x + 25 \] Перенесем все члены влево: \[ -2x^2 + 8x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x - 5 = 0 \] Корни: \(x = 5\) и \(x = -1\).
   Ответ: \(-1; 5\).
5. Минимум.
   Решение: Выделим полный квадрат: \[ x^2 - 10x + 26 = (x - 5)^2 + 1 \] Минимальное значение равно \(1\) при \(x = 5\).
   Ответ: \(1\) при \(x = 5\).
6. Выражение.
   Решение: Сгруппируем и разложим: \[ -(16x^2 - 8xy + y^2) + 5(3x - 2y) = -(4x - y)^2 + 5(3x - 2y) \] При \(x = 2{,}5\), \(y = 1{,}5\): \[ -(10 - 1{,}5)^2 + 5(7{,}5 - 3) = -8{,}5^2 + 22{,}5 = -72{,}25 + 22{,}5 = -49{,}75 \] Ответ: \(-49{,}75\).
7. Дробь.
   Решение: Упростим степени: \[ \frac{4^8(16 + 1) \cdot 5^6}{4^7(16 - 1) \cdot 5^4} = \frac{4 \cdot 17 \cdot 5^2}{15} = \frac{68 \cdot 25}{15} = \frac{1700}{15} = \frac{340}{3} \] Ответ: \(\frac{340}{3}\).
8. Множители.
   Решение: Группировка: \[ x^4 + x^3 - 8x^2 - 32 = x^3(x + 1) - 8(x^2 + 4) = (x + 1)(x^3 - 8) - 8(x^2 + 4 - x^3) \] Корректное разложение: \[ (x^2 + 4)(x^2 - 2x - 8) = (x^2 + 4)(x - 4)(x + 2) \] Ответ: \((x^2 + 4)(x - 4)(x + 2)\).
9. Биссектриса.
   Решение: Пусть \(\angle BAC = 2\alpha\). Так как \(AL\) — биссектриса, то \(\angle BAL = \alpha\). Из перпендикулярности \(AL \perp BM\) и \(\angle MBA = 55^\circ\) следует: \[ \alpha + 55^\circ = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 35^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle BAC = 70^\circ \] Ответ: \(70^\circ\).
10. Гипотенуза.
    Решение: В треугольнике \(ABC\): \(AB = 8\), \(BC = 4\), \(AC = 4\sqrt{3}\). Высота \(CH = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}\). Координаты точки \(M(4; 2\sqrt{3})\). Координаты \(H\) найдем через проекции: \[ HM = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7} \] Ответ: \(\sqrt{7}\).