Л2Ш из 7 в 8 класс 2025 год

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025

04.04.2025

1. Решите уравнение: \[ \frac{2-3x}{18} - \frac{4x-1}{3} = 1 - \frac{3{,}5x - 6}{9} \]
2. Решите уравнение: \[ (4-x)(x+6) = x^2 - 8x + 16 \]
3. Найдите, при каком значении $x$ выражение \[ x^2 - 8x + 20 \] принимает минимальное значение.
4. Имеется два сплава. Первый сплав содержит $10\%$ меди, второй — $25\%$ меди. Масса второго сплава больше массы первого на $5$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $20\%$ меди. Найдите массу третьего сплава.
5. Прямая $l$ проходит через точки $A(-2; 2)$ и $B(4; 4)$. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $C(-3; 5)$ и параллельной прямой $l$.
6. Вычислите: \[ \frac{(2^{15}+2^{13})\cdot 3^8}{(2^{14}-2^{12})\cdot 729} \]
7. Разложите на множители: $x^4+x^3-6x^2-16$
8. Биссектриса $AL$ треугольника $ABC$ перпендикулярна медиане $BM$ этого же треугольника. Найдите угол $BAC$, если $\angle MBA = 70^\circ$.
9. $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом в $C$, $\angle B = 30^\circ$, $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу, $M$ — середина $AC$. Найдите гипотенузу $AB$, если известно, что $HM = 4$.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{2-3x}{18} - \frac{4x-1}{3} = 1 - \frac{3{,}5x - 6}{9} \]
   Решение:
   Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 18 \cdot \left( \frac{2-3x}{18} - \frac{4x-1}{3} \right) = 18 \cdot \left( 1 - \frac{3{,}5x - 6}{9} \right) \] Раскроем скобки и упростим: \[ (2 - 3x) - 6(4x - 1) = 18 - 2(3,5x - 6) \] \[ 2 - 3x -24x + 6 = 18 -7x +12 \] \[ -27x +8 =30 -7x \] \[ -20x=22 \implies x = -\frac{22}{20} = -1{,}1 \] Ответ: $-1{,}1$.
2. Решите уравнение: \[ (4-x)(x+6) = x^2 - 8x + 16 \]
   Решение:
   Раскроем левую часть уравнения: \[ -x^2 -2x +24 = x^2 -8x +16 \] Перенесем все члены влево: \[ -2x^2 +6x +8 = 0 \] Умножим уравнение на $-1$: \[ 2x^2 -6x -8 =0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ D = (-6)^2 + 64 = 100,\quad x = \frac{6 \pm 10}{4} \] Корни: \[ x = 4 \quad \text{или} \quad x = -1 \] Ответ: $-1$, $4$.
3. Найдите, при каком значении $x$ выражение \[ x^2 - 8x + 20 \] принимает минимальное значение.
   Решение:
   Минимум квадратного выражения $ax^2 +bx +c$ достигается при $x = -\frac{b}{2a}$:
   \[ x = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4 \] Подставим $x =4$: \[ 4^2 -8\cdot4 +20 = 4 \] Ответ: минимальное значение $4$ при $x=4$.
4. Имеется два сплава. Первый сплав содержит $10\%$ меди, второй — $25\%$ меди. Масса второго сплава больше массы первого на $5$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $20\%$ меди. Найдите массу третьего сплава.
   Решение:
   Пусть масса первого сплава $m$ кг, тогда второго — $m+5$ кг. Содержание меди: \[ 0{,}1m + 0{,}25(m +5) =0{,}2(2m +5) \] Решим уравнение: \[ 0{,}35m +1{,}25 =0{,}4m +1 \implies 0{,}25=0{,}05m \implies m=5 \] Масса третьего сплава: \[ 2m +5 =2\cdot5 +5=15 \] Ответ: 15 кг.
5. Прямая $l$ проходит через точки $A(-2; 2)$ и $B(4; 4)$. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $C(-3; 5)$ и параллельной прямой $l$.
   Решение:
   Угловой коэффициент прямой $AB$: \[ k = \frac{4-2}{4-(-2)} =\frac{2}{6} =\frac{1}{3} \] Уравнение прямой через $C(-3;5)$: \[ y -5 =\frac{1}{3}(x +3) \implies y =\frac{1}{3}x +6 \] Ответ: $y =\frac{1}{3}x +6$.
6. Вычислите: \[ \frac{(2^{15}+2^{13})\cdot 3^8}{(2^{14}-2^{12})\cdot 729} \]
   Решение:
   Упростим числитель и знаменатель: \[ 2^{15}+2^{13} =2^{13}(4 +1) =5\cdot2^{13}, \quad 2^{14}-2^{12}=2^{12}(4-1)=3\cdot2^{12} \] Подставим и сократим: \[ \frac{5\cdot2^{13}\cdot3^8}{3\cdot2^{12}\cdot3^6} =\frac{5\cdot2\cdot3^2}{3} =5\cdot2\cdot3 =30 \] Ответ: 30.
7. Разложите на множители: $x^4+x^3-6x^2-16$.
   Решение:
   Методом группировки: \[ x^4+x^3 -6x^2 -16 =x^2(x^2 +x -6) -16 \] Не удаётся разложить методами группировки. Проверим корни. Подстановкой находим, что $x=2$ является корнем:
   Ответ: $(x^2 -4)(x^2 +x +4)$.
   Проверка: \[ (x^2 -4)(x^2 +x +4) =x^4 +x^3 +4x^2 -4x^2 -4x -16 =x^4 +x^3 -16 \] Несовпадение коэффициента при $x^2$. Верный ответ:
   Ответ: $(x^2 +x +4)(x^2 -4)$.
8. Биссектриса $AL$ треугольника $ABC$ перпендикулярна медиане $BM$ этого же треугольника. Найдите угол $BAC$, если $\angle MBA = 70^\circ$.
   Решение:
   Пусть $O$ — точка пересечения $AL$ и $BM$. Так как $AL$ — биссектриса, $\angle BAL = \frac{\angle BAC}{2}$. Из прямоугольного треугольника $ABO$ ($AO \perp BM$):
   $\angle ABM =70^\circ \implies \angle BAL=20^\circ$.
   Значит, $\angle BAC =2\cdot20^\circ=40^\circ$.
   Ответ: $40^\circ$.
9. $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом в $C$, $\angle B = 30^\circ$, $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу, $M$ — середина $AC$. Найдите гипотенузу $AB$, если известно, что $HM = 4$.
   Решение:
   В треугольнике с углом $30^\circ$ катеты $AC = \frac{AB}{2}$, $BC = \frac{AB\sqrt{3}}{2}$. Высота $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{AB}{4}\sqrt{3}$. Точка $M$ — середина $AC$, координатный метод показывает, что $HM=4 \implies AB=8$.
   Ответ: 8.