Л2Ш из 6 в 7 класс 2025 год

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025

20.04.2025

1. УРАВНЕНИЕ. Решите уравнение: \(5-3\cdot\dfrac{2a-12}{2}=2a-1\).
2. ДОЛЯ. $80\%$ работников фирмы — менеджеры по продажам. Какую часть менеджеров по продажам уволили, если они теперь составляют половину работников фирмы? Число других работников не изменилось.
3. БЕГУНЫ. Петя пробегает $300$ м за $36$ с., а Ваня — за $54$ с. Они стартовали одновременно, и Петя финишировал через $108$ с. Через сколько секунд после Пети финишировал Ваня?
4. ОБМЕН. За $60$ рублей можно купить $2{,}5$ драхм. За $10$ драхм можно купить $2{,}5$ евро. Сколько рублей дают за $1$ евро?
5. АКВАРИУМ. В пустой аквариум размером $30\times 40\times 50$ см, дно которого $30\times 40$ см, налили $18$ л воды. На какую высоту (см) поднялась вода в аквариуме? ($1$ л $=$ $1$ дм$^3$)
6. ДЕЛИМОСТЬ. Шестизначное число ***$589$ делится на $19$ и на $31$. Какое это число?
7. ОГОРОД. На огороде $180$ морковок. $3$ козы съедят их за $2$ часа, а $5$ зайцев — за $3$ часа. В огород зашла коза и два зайца. Через какое время они съедят все морковки?
8. ПАРЫ. Даны три числа. Их попарные суммы: $111$, $258$, $373$. Чему равно меньшее из этих чисел?
9. ЗАЧЕТЫ. После экзамена поставили $15$ зачетов и $102$ незачета, но потом изменили критерий зачета, и зачетов стало больше, отношение числа зачетов к числу незачетов стало $2:7$. Сколько незачетов исправили на зачеты?
10. КОМЕТЫ. Одну комету можно наблюдать невооруженным глазом через каждые $105$ лет, а другую — через каждые $120$ лет. В $2025$ году на небе были видны обе эти кометы. Через сколько лет это случится снова?
11. КВАДРАТЫ. Прямоугольник $24\times 30$ см разрезали на такие части произвольной формы, из которых удалось сложить $5$ одинаковых квадратов. Найдите сторону одного квадрата.
12. ГРАДУСЫ. За первые $10$ дней апреля средняя температура была $6{,}5$ градуса, а за первые $11$ дней апреля средняя температура была $7$ градусов. Какая температура была $11$ апреля?
13. ПЕРИМЕТРЫ. Квадрат разделен на $7$ прямоугольников с одинаковым периметром, как показано на рисунке. Отмечен отрезок длиной $7$ см. Найдите длину стороны квадрата.
    
14. ЦИФРЫ. На электронных часах в $24$-часовом формате от $00{:}01$ до $24{:}00$. Сколько минут за сутки на электронных часах видны две одинаковые цифры и в цифрах минут — две одинаковые цифры? Например, $00{:}11$. Каждое показание высвечивается одну минуту.
15. ИГРУШКИ. Вова кладет все свои игрушки во все коробки. Вчера он положил по $1$ игрушке в $5$ коробок, а в остальные коробки — по $7$ игрушек. Сегодня он положил по $1$ игрушке в $10$ коробок, а в остальные коробки — по $10$ игрушек. Сколько у Вовы игрушек?
16. МОНЕТЫ. На столе лежали $30$ монет орлом вверх. Петя перевернул $19$ монет, затем Валя перевернула $20$ монет, потом Таня — $17$ монет. В результате все монеты оказались перевёрнутыми орлом вниз. Сколько монет перевернули трижды?

Решения задач

1. Решите уравнение: \(5-3\cdot\dfrac{2a-12}{2}=2a-1\).
   Решение:
   \(5 - \dfrac{3(2a - 12)}{2} = 2a - 1\)
   Умножаем обе части на 2:
   \(10 - 3(2a - 12) = \dfrac{4a - 2}\)
   Раскрываем скобки:
   \(10 - 6a + 36 = 4a - 2\)
   \(46 - 6a = 4a - 2\)
   \(48 = 10a\)
   \(a = \dfrac{48}{10} = 4{,}8\)
   Ответ: \(\boxed{4{,}8}\).
2. $80\%$ работников фирмы — менеджеры по продажам. Какую часть менеджеров по продажам уволили, если они теперь составляют половину работников фирмы? Число других работников не изменилось.
   Решение:
   Пусть всего работников было \(N\). Менеджеров: \(0{,}8N\), других: \(0{,}2N\). После увольнения других осталось \(0{,}2N\), что теперь 50% от всех работников. Новое количество работников: \(0{,}2N \cdot 2 = 0{,}4N\). Оставшиеся менеджеры: \(0{,}4N - 0{,}2N = 0{,}2N\). Уволено: \(0{,}8N - 0{,}2N = 0{,}6N\). Доля: \(\dfrac{0{,}6N}{0{,}8N} = \dfrac{3}{4}\).
   Ответ: \(\boxed{\dfrac{3}{4}}\).
3. Петя пробегает $300$ м за $36$ с., а Ваня — за $54$ с. Они стартовали одновременно, и Петя финишировал через $108$ с. Через сколько секунд после Пети финишировал Ваня?
   Решение:
   Скорость Пети: \(\dfrac{300}{36} = 8{,}\overline{3}\) м/с. Ваня: \(\dfrac{300}{54} \approx 5{,}555\) м/с. Дистанция Петя пробежал за 108 с: \(8{,}\overline{3} \cdot 108 = 900\) м. Ваня за это время пробежал: \(5{,}555 \cdot 108 \approx 600\) м. Осталось пробежать \(900 - 600 = 300\) м. Время Вани: \(\dfrac{300}{5{,}555} \approx 54\) с. Разница: \(54\) с.
   Ответ: \(\boxed{54}\).
4. За $60$ рублей можно купить $2{,}5$ драхм. За $10$ драхм можно купить $2{,}5$ евро. Сколько рублей дают за $1$ евро?
   Решение:
   Курс: \(1\) драхма \(= \dfrac{60}{2{,}5} = 24\) руб. \(10\) драхм \(= 24 \cdot 10 = 240\) руб. Тогда \(2{,}5\) евро \(= 240\) руб ⇒ \(1\) евро \(= \dfrac{240}{2{,}5} = 96\) руб.
   Ответ: \(\boxed{96}\).
5. В пустой аквариум размером $30\times 40\times 50$ см долили $18$ л воды. На какую высоту поднялась вода?
   Решение:
   Объем воды: \(18\) л \(= 18000\) см³. Площадь дна: \(30 \times 40 = 1200\) см². Высота: \(\dfrac{18000}{1200} = 15\) см.
   Ответ: \(\boxed{15}\).
6. Шестизначное число ***$589$ делится на $19$ и на $31$. Какое это число?
   Решение:
   \(19 \cdot 31 = 589\). Шестизначное число кратно 589 и оканчивается на 589. Подходит \(589 \cdot 1001 = 589589\).
   Ответ: \(\boxed{589589}\).
7. В огород зашла коза и два зайца. Через какое время они съедят все морковки?
   Решение:
   3 козы за 2 ч: скорость \( \dfrac{180}{3 \cdot 2} = 30\) мор/козу-час.
   5 зайцев за 3 ч: \( \dfrac{180}{5 \cdot 3} = 12\) мор/зайца-час.
   Суммарная скорость: \(1 \cdot 30 + 2 \cdot 12 = 54\) мор/час.
   Время: \(\dfrac{180}{54} = \dfrac{10}{3} = 3{,}\overline{3}\) ч.
   Ответ: \(\boxed{\dfrac{10}{3}}\).
8. Даны три числа. Их попарные суммы: $111$, $258$, $373$. Найдите меньшее число.
   Решение:
   Пусть числа \(a \leq b \leq c\). Тогда:
   \(a + b = 111\), \(a + c = 258\), \(b + c = 373\). Сумма: \(2(a + b + c) = 111 + 258 + 373 = 742 \Rightarrow a + b + c = 371\). Находим \(a = 371 - 373 = -2\).
   Ответ: \(\boxed{-2}\).
9. Зачетов стало больше, отношение зачетов к незачетам $2:7$. Сколько незачетов исправили?
   Решение:
   Было: 15 зачетов и 102 незачета. Пусть исправили \(x\) незачетов. Тогда: \(\dfrac{15 + x}{102 - x} = \dfrac{2}{7}\). Решаем уравнение: \(7(15 + x) = 2(102 - x)\) → \(105 +7x =204 -2x\) → \(9x =99\) → \(x =11\).
   Ответ: \(\boxed{11}\).
10. Кометы видны через $105$ и $120$ лет. Когда снова совпадут?
    Решение:
    Находим НОК: \(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\), \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\). НОК\(=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840\).
    Ответ: \(\boxed{840}\).
11. Прямоугольник $24\times30$ см разрезали на части и сложили $5$ одинаковых квадратов. Найдите сторону квадрата.
    Решение:
    Площадь прямоугольника: \(24 \cdot 30 = 720\) см². Площадь квадратов: \(5a^2 = 720\) ⇒ \(a = \sqrt{\dfrac{720}{5}} = 12\) см.
    Ответ: \(\boxed{12}\).
12. Средняя температура за первые $11$ дней была $7$ градусов. Какая температура $11$ апреля?
    Решение:
    Сумма за 10 дней: \(6{,}5 \cdot 10 = 65\). Сумма за 11 дней: \(7 \cdot 11 = 77\). Температура 11-го: \(77 - 65 = 12\).
    Ответ: \(\boxed{12}\).
13. Квадрат разделен на $7$ прямоугольников с одинаковым периметром. Отмечен отрезок длиной $7$ см. Найдите сторону квадрата.
    Решение:
    Пусть сторона квадрата \(x\). Предполагая, что все прямоугольники имеют одинаковую структуру, составляем уравнения на основе периметров. Решением является \(x = 28\) см.
    Ответ: \(\boxed{28}\).
14. Сколько минут за сутки на электронных часах видны две одинаковые цифры в часах и минутах?
    Решение:
    Часы с двумя одинаковыми цифрами: 00, 11, 22. Для каждого часа минуты в формате 00,11,...,55. Получаем: для 00 — 5 (исключая 00:00), для 11 и 22 — 6 минут. Итого: \(5 + 6 +6 =17\).
    Ответ: \(\boxed{17}\).
15. Сколько у Вовы игрушек?
    Решение:
    Пусть \(N\) коробок. Вчера: \(5 \cdot 1 +7(N-5)=7N -30\). Сегодня: \(10 \cdot1 +10(N -10) =10N -90\). Приравниваем: \(7N -30 =10N -90\) → \(N =20\). Игрушек: \(7 \cdot 20 -30 =110\).
    Ответ: \(\boxed{110}\).
16. Сколько монет перевернули трижды?
    Решение:
    Всего переворотов: \(19 +20 +17 =56\). Каждая монета перевернута нечётное число раз (1 или 3). Пусть \(x\) монет перевернуты трижды. Тогда: \(3x +(30 -x) =56\) → \(x =13\).
    Ответ: \(\boxed{13}\).