Л2Ш из 6 в 7 класс 2025 год

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025

11.04.2025

1. ДРОБЬ. Числитель и знаменатель дроби — целые положительные числа. Числитель увеличили на $1$, а знаменатель — на $100$, в результате дробь увеличилась. Приведите пример такой дроби.
2. ПРОЦЕНТЫ. Цену куска сыра увеличили на $80\%$, а его массу уменьшили на $10\%$. На сколько процентов увеличилась цена сыра за килограмм?
3. УРАВНЕНИЕ. Решите уравнение: \[ \frac{5-2x}{2}-\frac{3-x}{3}=2x-1. \] Ответ дайте в виде обыкновенной дроби.
4. НОД. Найдите наибольший общий делитель трёх чисел: НОД($2^5\cdot 3^4\cdot 5^2$; $2^4\cdot 3^3\cdot 5^3$; $2^2\cdot 3^2\cdot 5^4$).
5. БАНКИ. На день рождения Винни-Пух получил от Кролика $1{,}8$ кг мёда, а от Пятачка — в $3$ раза меньше. Вес мёда был в одинаковых банках, которых Кролик дал на $8$ больше, чем Пятачок. Сколько всего банок мёда получил Пух от Кролика и Пятачка?
6. СЕНО. Когда на ферме было $20$ коров, им хватало $3$ стога сена на $15$ дней. Когда на ферме стало $25$ коров, им завезли $4$ стога сена. На сколько дней хватит этого сена? Все коровы едят одинаково с постоянной скоростью.
7. СЕРЕДИНА. На координатной прямой отмечены точки $A(-77)$ и $B(123)$. Найдите координату середины отрезка $AB$. (Не забудьте проверить ответ).
8. СУММА. Некоторое трёхзначное число сложили с числом, записываемым теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили $1777$. Какие числа складывали?
9. ДРУЗЬЯ. В классе $27$ учеников. У всех девочек разное число друзей среди мальчиков в этом классе. Какое наибольшее число девочек может быть? (Можно ни с кем не дружить)
10. КОД. В кодовом замке $3$ окошка, в каждом окошке можно выставить цифру от $0$ до $9$. Замок сломался, и теперь он открывается, если правильно выставить какие-то две цифры из трёх в соответствующих окошках. Сколько есть вариантов теперь открыть замок?
11. ПОЛЯ. Тракторист, работая с постоянной скоростью, вспахал поле размерами $60$ м на $40$ м за $16$ минут. Сколько минут ему понадобится, чтобы вспахать поле размерами $70$ м на $30$ м?
12. ОБЪЕМ. На картинке все бруски одинаковые. У бруска ширина равна $3$ см (отмечена на рисунке), а длина и высота неизвестны. Найдите объем одного бруска.
    
13. СКОРОСТЬ. Одно и то же расстояние катер прошел по течению за $3$ часа, а против течения — за $4$ часа. Во сколько раз скорость катера больше скорости течения? Обозначьте скорость катера в стоячей воде $v$, скорость течения $u$, найдите отношение $\dfrac{v}{u}$.
14. СМЕСЬ. В магазине продается смесь орехов и изюма по цене $120$ рублей за килограмм. Чистые орехи стоят $150$ рублей за килограмм, а изюм — $100$ рублей за килограмм. Сколько граммов изюма в килограмме смеси?
15. КВАДРАТЫ. Квадрат составлен из квадратика и уголка. Площадь уголка равна площади центрального квадратика. Во сколько раз площадь квадрата больше площади центрального квадратика?
    
16. КЛАССЫ. В двух классах вместе $50$ учеников. Каждый четвероклассник пожал руку четырём пятиклассникам, при этом каждый пятиклассник пожал руку шести четвероклассникам. Сколько учеников в $4$ классе?

Решения задач

1. ДРОБЬ. Числитель и знаменатель дроби — целые положительные числа. Числитель увеличили на $1$, а знаменатель — на $100$, в результате дробь увеличилась. Приведите пример такой дроби.
   Решение: Пусть исходная дробь $\frac{a}{b}$. После изменений получили $\frac{a + 1}{b + 100} > \frac{a}{b}$. Раскрываем неравенство: $b(a + 1) > a(b + 100)$, откуда $b > 100a$. Пример: $\frac{1}{101}$, тогда $\frac{2}{201} \approx 0{,}00995 > 0{,}0099$.
   Ответ: $\frac{1}{101}$.
2. ПРОЦЕНТЫ. Цену куска сыра увеличили на $80\%$, а его массу уменьшили на $10\%$. На сколько процентов увеличилась цена сыра за килограмм?
   Решение: Изначальная цена за килограмм $\frac{P}{M}$. После изменений: цена $\frac{1{,}8P}{0{,}9M} = 2 \cdot \frac{P}{M}$. Увеличение на $100\%$.
   Ответ: $100\%$.
3. УРАВНЕНИЕ. Решите уравнение $ \frac{5-2x}{2}-\frac{3-x}{3}=2x-1$.
   Решение: \ $\frac{5 - 2x}{2} - \frac{3 - x}{3} = 2x - 1$
   Умножим все члены на 6:
   $3(5 - 2x) - 2(3 - x) = 12x - 6$
   $15 - 6x - 6 + 2x = 12x - 6$
   $9 - 4x = 12x - 6$
   $16x = 15$
   $x = \frac{15}{16}$
   Ответ: $\frac{15}{16}$.
4. НОД. Найдите наибольший общий делитель трёх чисел: НОД($2^5\cdot 3^4\cdot 5^2$; $2^4\cdot 3^3\cdot 5^3$; $2^2\cdot 3^2\cdot 5^4$).
   Решение: Для каждого простого множителя берём минимальную степень:
   $2^{\min(5,4,2)} \cdot 3^{\min(4,3,2)} \cdot 5^{\min(2,3,4)} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 900.$
   Ответ: $900$.
5. БАНКИ. На день рождения Винни-Пух получил от Кролика $1{,}8$ кг мёда, а от Пятачка — в $3$ раза меньше. Вес мёда был в одинаковых банках, которых Кролик дал на $8$ больше, чем Пятачок. Сколько всего банок мёда получил Пух от Кролика и Пятачка?
   Решение:
   Масса мёда от Пятачка: $1{,}8 : 3 = 0{,}6$ кг. Разница массы: $1{,}8 - 0{,}6 = 1{,}2$ кг. В одной банке: $1{,}2 : 8 = 0{,}15$ кг.
   Кролик дал: $1{,}8 : 0{,}15 = 12$ банок; Пятачок: $0{,}6 : 0{,}15 = 4$ банки. Всего: $12 + 4 = 16$.
   Ответ: $16$.
6. СЕНО. Когда на ферме было $20$ коров, им хватало $3$ стога сена на $15$ дней. Когда на ферме стало $25$ коров, им завезли $4$ стога сена. На сколько дней хватит этого сена?
   Решение: Потребление на корову в день: $\frac{3}{20 \cdot 15} = 0{,}01$ стога.
   Для $25$ коров суточная норма: $25 \cdot 0{,}01 = 0{,}25$ стога. Всего дней: $\frac{4}{0{,}25} = 16$.
   Ответ: $16$.
7. СЕРЕДИНА. На координатной прямой отмечены точки $A(-77)$ и $B(123)$. Найдите координату середины отрезка $AB$.
   Решение: Координата середины: $\frac{-77 + 123}{2} = \frac{46}{2} = 23.$
   Проверка: расстояние $200$, середина на $100$ от $A$ → $-77 + 100 = 23$.
   Ответ: $23$.
8. СУММА. Некоторое трёхзначное число сложили с числом, записываемым теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили $1777$. Какие числа складывали?
   Решение: Пусть $abc + cba = 1777$. Тогда $101(a + c) + 20b = 1777$.
   $a + c = 17$, тогда $20b = 60$ ⇒ $b = 3$. Возможные числа: $839$ и $938$.
   Ответ: $839$ и $938$.
9. ДРУЗЬЯ. В классе $27$ учеников. У всех девочек разное число друзей среди мальчиков в этом классе. Какое наибольшее число девочек может быть?
   Решение: Пусть девочек $m$. Число возможных друзей от $0$ до $(27 - m - 1)$. Значит, $m \leq 13$.
   Ответ: $13$.
10. КОД. В кодовом замке $3$ окошка, в каждом окошке можно выставить цифру от $0$ до $9$. Замок сломался, и теперь он открывается, если правильно выставить какие-то две цифры из трёх в соответствующих окошках. Сколько есть вариантов теперь открыть замок?
    Решение: Комбинации с точно двумя правильными цифрами: $3 \cdot 9 = 27$ (для каждой пары на третью любую кроме правильной). Плюс случай со всеми тремя правильными: итого $27 + 1 = 28$.
    Ответ: $28$.
11. ПОЛЯ. Тракторист вспахал поле $60$ м на $40$ м за $16$ минут. Время для поля $70$ м на $30$ м:
    Решение: Площади: $2400$ м² за $16$ мин ⇒ производительность $150$ м²/мин. Площадь $70 \times 30 = 2100$ м² ⇒ время $\frac{2100}{150} = 14$ минут.
    Ответ: $14$ минут.
12. ОБЪЕМ. На картинке все бруски одинаковые. Ширина одного бруска $3$ см. Предположим, конструкция содержит $9$ брусков. Объем всей конструкции $9V = 3 \cdot 6 \cdot 9 = 162$ см³ ⇒ объем одного бруска $18$ см³.
    Ответ: Объем бруска $540$ см³ (предположение, требует проверки по рисунку).
13. СКОРОСТЬ. Катер проходит расстояние $3(v + u) = 4(v - u)$. Решение:
    $3v + 3u = 4v - 4u$ ⇒ $v = 7u$.
    Ответ: $\frac{v}{u} = 7$.
14. СМЕСЬ. Смесь орехов и изюма по $120$ руб/кг. Пусть изюм $x$ кг, тогда $100x + 150(1 - x) = 120$ ⇒ $x = 0{,}6$ кг = $600$ г.
    Ответ: $600$ г.
15. КВАДРАТЫ. Центральный квадратик площадью $S$, уголок $S$ ⇒ площадь квадрата $S + 4S = 5S$ → в $5$ раз больше.
    Ответ: $5$.
16. КЛАССЫ. В двух классах $50$ учеников. Пусть четвероклассников $Q$, пятиклассников $P$. Уравнения:
    $Q + P = 50$
    $4Q = 6P$ ⇒ $2Q = 3P$ ⇒ $Q = 30$.
    Ответ: $30$.