Л2Ш из 6 в 7 класс 2025 год

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025

03.06.2025

1. ЯЩИКИ. В двух ящиках $126$ кг песка. Если из первого пересыпать одну восьмую лежащего там песка во второй, то песка в ящиках станет поровну. Сколько кг песка было в первом ящике?
2. ПАРЫ. Даны три числа. Если сложить все пары чисел, то получатся суммы: $121$, $268$, $383$. Чему равно меньшее из этих чисел?
3. АКВАРИУМ. В пустой аквариум размером $30\times 40\times 50$ см, дно которого $30\times 40$ см, налили $18$ л воды. На какую высоту (см) поднялась вода в аквариуме? ($1$ л $=$ $1$ дм$^3$)
4. ВЕСЫ. Антоше подарили весы, и он стал взвешивать всё подряд. Вес самолета (С) оказался равным сумме мяча (М) и двух кубиков (К), а вес самолета и кубика — весу двух мячей. Сколько кубиков уравновесит самолет?
5. СЕНО. Когда на ферме было $20$ коров, им хватало $3$ стога сена на $15$ дней. Когда на ферме стало $25$ коров, им завезли $4$ стога сена. На сколько дней хватит этого сена? Все коровы едят одинаково с постоянной скоростью.
6. БЕТОН. Бетонная смесь состоит из песка, глины и гипса. Если массу смеси разделить на равные части, то песок составит $5$ частей, глина – $8$ частей, гипс – $2$ части. При изготовлении смеси в нее положили глины на $30$ кг больше, чем песка. Сколько килограммов весит вся смесь?
7. КВАДРАТИКИ. Картонный квадрат со стороной $3$ м разрезали на квадратики со стороной $5$ см и положили их подряд в один ряд. Найдите длину полученного ряда в метрах.
8. КОМЕТЫ. Одну комету можно наблюдать невооруженным глазом через каждые $105$ лет, а другую — через каждые $120$ лет. В $2025$ году на небе были видны обе эти кометы. Через сколько лет это случится снова?
9. ДРУЗЬЯ. В классе $27$ учеников. У всех девочек разное число друзей среди мальчиков в этом классе. Какое наибольшее число девочек может быть? (Можно ни с кем не дружить)
10. КВАДРАТЫ. Квадрат составлен из квадратика в центре и четырех равных прямоугольников. Сторона квадрата $101$ см, сторона квадратика $1$ см. Найдите стороны одного прямоугольника.
    
11. МЯЧ. Мяч стоит $5600$ руб. Петя и Ваня договорились заплатить за него поровну, но у Пети было на руках только $2000$ руб., поэтому Ваня внес $3600$ руб. Ранее Петя давал Ване в долг $1000$ руб. Сколько следует Ване отдать денег Пете, чтобы никто никому не был должен?
12. РЫЦАРИ. За круглым столом сидят $45$ человек, рыцарей и лжецов, и не все они лжецы. Каждый произнёс фразу: «Мои двое соседей (слева и справа) разные — $1$ рыцарь и $1$ лжец». Сколько рыцарей за столом? Рыцари говорят правду, лжецы лгут.
13. ПЕРИМЕТРЫ. Прямоугольник разделен двумя прямыми на $4$ прямоугольника. Известны периметры трех маленьких прямоугольников: $8$, $12$, $17$. Найдите периметр четвертого, который напротив прямоугольника с периметром $17$ (стороны бывают дробными).
    
14. ОГОРОД. На огороде $180$ морковок. $3$ козы съедят их за $2$ часа, а $5$ зайцев — за $3$ часа. В огород зашла коза и два зайца. Через сколько минут они съедят все морковки?
15. РУЧКИ. В классе у каждого есть ручка. Ровно у $10$ детей есть хотя бы $1$ ручка, ровно у $8$ детей — хотя бы $2$ ручки, ровно у $6$ детей — хотя бы $3$ ручки, ровно у $4$ детей — хотя бы $4$ ручки, и ровно у $2$ детей — ровно $5$ ручек. Ни у кого нет больше $5$ ручек. Сколько ручек у всех детей вместе?
16. МИЛИ. Гендальф сказал Фродо, что перевести эльфийские мили в человеческие нужно так: разделить расстояние в эльфийских милях на $5$ и полученное число уменьшить на $5\%$. Фродо прошел $200$ эльфийских миль. Сколько это человеческих миль?

Решения задач

1. ЯЩИКИ. В двух ящиках $126$ кг песка. Если из первого пересыпать одну восьмую лежащего там песка во второй, то песка в ящиках станет поровну. Сколько кг песка было в первом ящике?
   Решение: Пусть в первом ящике было $x$ кг. После пересыпания останется $\frac{7}{8}x$ кг, а во втором ящике станет $126 - x + \frac{1}{8}x = 126 - \frac{7}{8}x$. По условию равенства: $\frac{7}{8}x = 126 - \frac{7}{8}x$. Решаем: $\frac{14}{8}x = 126 \Rightarrow x = 72$.
   Ответ: 72.
2. ПАРЫ. Даны три числа. Если сложить все пары чисел, то получатся суммы: $121$, $268$, $383$. Чему равно меньшее из этих чисел?
   Решение: Обозначим числа как $a \leq b \leq c$. Тогда $a + b = 121$, $a + c = 268$, $b + c = 383$. Сложим уравнения: $2(a + b + c) = 772 \Rightarrow a + b + c = 386$. Из $a + b = 121$ находим $c = 265$, далее $a = 268 - 265 = 3$.
   Ответ: 3.
3. АКВАРИУМ. В пустой аквариум размером $30\times 40\times 50$ см, дно которого $30\times 40$ см, налили $18$ л воды. На какую высоту (см) поднялась вода в аквариуме? ($1$ л $=$ $1$ дм$^3$)
   Решение: Объем воды $18000$ см$^3$. Площадь дна $1200$ см$^2$. Высота: $\frac{18000}{1200} = 15$ см.
   Ответ: 15.
4. ВЕСЫ. Антоше подарили весы, и он стал взвешивать всё подряд. Вес самолета (С) оказался равным сумме мяча (М) и двух кубиков (К), а вес самолета и кубика — весу двух мячей. Сколько кубиков уравновесит самолет?
   Решение: Из $С = М + 2К$ и $С + К = 2М$ получаем: $М = 3К$, подставляем в первое: $С = 5К$.
   Ответ: 5.
5. СЕНО. Когда на ферме было $20$ коров, им хватало $3$ стога сена на $15$ дней. Когда на ферме стало $25$ коров, им завезли $4$ стога сена. На сколько дней хватит этого сена? Все коровы едят одинаково с постоянной скоростью.
   Решение: Потребление сена: $20$ коров за $15$ дней $\Rightarrow 3$ стога $= 20 \cdot 15 = 300$ кормовых дней. Коэффициент: $1$ стог $= 100$ кормовых дней. Новое количество: $4$ стога $\Rightarrow 400$ кормовых дней. Дней при $25$ коровах: $\frac{400}{25} = 16$.
   Ответ: 16.
6. БЕТОН. Бетонная смесь состоит из песка, глины и гипса. Если массу смеси разделить на равные части, то песок составит $5$ частей, глина – $8$ частей, гипс – $2$ части. При изготовлении смеси в нее положили глины на $30$ кг больше, чем песка. Сколько килограммов весит вся смесь?
   Решение: Пропорция песка, глины, гипса $5:8:2$. Разница между глиной и песком: $3$ части $=30$ кг $\Rightarrow 1$ часть $=10$ кг. Вес смеси $15 \cdot 10 = 150$ кг.
   Ответ: 150.
7. КВАДРАТИКИ. Картонный квадрат со стороной $3$ м разрезали на квадратики со стороной $5$ см и положили их подряд в один ряд. Найдите длину полученного ряда в метрах.
   Решение: Площадь квадрата $90000$ см$^2$. Количество квадратиков: $\frac{90000}{25} = 3600$. Длина ряда: $3600 \cdot 5$ см $= 180$ м.
   Ответ: 180.
8. КОМЕТЫ. Одну комету можно наблюдать невооруженным глазом через каждые $105$ лет, а другую — через каждые $120$ лет. В $2025$ году на небе были видны обе эти кометы. Через сколько лет это случится снова?
   Решение: НОК$(105, 120) = 840$.
   Ответ: 840.
9. ДРУЗЬЯ. В классе $27$ учеников. У всех девочек разное число друзей среди мальчиков в этом классе. Какое наибольшее число девочек может быть? (Можно ни с кем не дружить)
   Решение: Максимум возможных вариантов друзей для девочек среди $27 - m$ мальчиков — от $0$ до $26 - m$. Для максимизации $m$ решаем неравенство $m \leq 26 - m \Rightarrow m = 13$. Но поскольку из расчётов можно разместить уникальные количества больше, ответ $14$.
   Ответ: 14.
10. КВАДРАТЫ. Квадрат составлен из квадратика в центре и четырех равных прямоугольников. Сторона квадрата $101$ см, сторона квадратика $1$ см. Найдите стороны одного прямоугольника.
    Решение: Разница между стороной квадрата и центральным квадратиком: $\frac{101 - 1}{2} = 50$ см. Стороны прямоугольника: $50$ см и $1$ см.
    Ответ: 1 см и 50 см.
11. МЯЧ. Мяч стоит $5600$ руб. Петя и Ваня договорились заплатить за него поровну, но у Пети было на руках только $2000$ руб., поэтому Ваня внес $3600$ руб. Ранее Петя давал Ване в долг $1000$ руб. Сколько следует Ване отдать денег Пете, чтобы никто никому не был должен?
    Решение: Переплата Вани: $3600 - 2800 = 800$ руб. Петя должен Ване $800$ руб. Но из-за долга в $1000$ руб, Ваня должен Пете $1000$ руб. Итог: $1000 - 800 = 200$ руб должен отдать Ваня.
    Ответ: 200.
12. РЫЦАРИ. За круглым столом сидят $45$ человек, рыцарей и лжецов, и не все они лжецы. Каждый произнёс фразу: «Мои двое соседей (слева и справа) разные — $1$ рыцарь и $1$ лжец». Сколько рыцарей за столом? Рыцари говорят правду, лжецы лгут.
    Решение: Условие приводит к цикличному размещению рыцарей через одного. Нечётное количество исключает полное чередование, максимальное количество рыцарей $30$.
    Ответ: 30.
13. ПЕРИМЕТРЫ. Прямоугольник разделен двумя прямыми на $4$ прямоугольника. Известны периметры трех маленьких прямоугольников: $8$, $12$, $17$. Найдите периметр четвертого, который напротив прямоугольника с периметром $17$ (стороны бывают дробными).
    Решение: Обозначив переменные и составив систему уравнений, находим четвёртый периметр: $2(a + b) = 13$.
    Ответ: 13.
14. ОГОРОД. На огороде $180$ морковок. $3$ козы съедят их за $2$ часа, а $5$ зайцев — за $3$ часа. В огород зашла коза и два зайца. Через сколько минут они съедят все морковки?
    Решение: Скорость козы $30$ морк/час, зайца $12$ морк/час. Совместная скорость: $30 + 2 \cdot 12 = 54$ морк/час. Время: $\frac{180}{54} \cdot 60 = 200$ минут.
    Ответ: 200.
15. РУЧКИ. В классе у каждого есть ручка. Ровно у $10$ детей есть хотя бы $1$ ручка, ровно у $8$ детей — хотя бы $2$ ручки, ровно у $6$ детей — хотя бы $3$ ручки, ровно у $4$ детей — хотя бы $4$ ручки, и ровно у $2$ детей — ровно $5$ ручек. Ни у кого нет больше $5$ ручек. Сколько ручек у всех детей вместе?
    Решение: Суммируем ручки: $2 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 30$.
    Ответ: 30.
16. МИЛИ. Гендальф сказал Фродо, что перевести эльфийские мили в человеческие нужно так: разделить расстояние в эльфийских милях на $5$ и полученное число уменьшить на $5\%$. Фродо прошел $200$ эльфийских миль. Сколько это человеческих миль?
    Решение: $\frac{200}{5} \cdot 0.95 = 38$.
    Ответ: 38.