Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2025 год

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025

20.04.2025

1. УРАВНЕНИЕ. Решите уравнение: \(2(13-a)+3(7a-15)=a+17\)
2. РАЗМЕРЫ. Автомат отрезает от прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От некоторого прямоугольника несколько раз отрезали квадраты В результате получился $1$ большой квадрат, $2$ одинаковых средних и $4$ одинаковых маленьких. Сторона маленького квадрата $1$ см. Чему равна большая сторона исходного прямоугольника?
3. БЕГУНЫ. Петя пробегает $300$ м за $36$ с., а Ваня — за $48$ с. Они стартовали одновременно, и Петя финишировал через $72$ с. Через сколько секунд после Пети финишировал Ваня?
4. ОБМЕН. За $500$ рублей можно купить $25$ драхм. За $100$ драхм можно купить $25$ евро. Сколько рублей дают за $1$ евро?
5. АКВАРИУМ. В пустой аквариум размером $30\times 40\times 50$ см, дно которого $30\times 40$ см, налили $24$ л воды. На какую высоту (см) поднялась вода в аквариуме? ($1$ л $=$ $1$ дм$^3$)
6. ДЕЛИМОСТЬ. Шестизначное число ***$551$ делится на $19$ и на $29$. Какое это число?
7. ОГОРОД. На огороде $360$ морковок. $3$ козы съедят их за $4$ часа, а $5$ зайцев — за $6$ часов. В огород зашла коза и два зайца. Через какое время они съедят все морковки?
8. ПАРЫ. Даны три числа. Их попарные суммы: $123$, $270$, $385$. Чему равно меньшее из этих чисел?
9. ЗАЧЕТЫ. После экзамена поставили $30$ зачетов и $204$ незачета, но потом изменили критерий зачета, и зачетов стало больше, отношение числа зачетов к числу незачетов стало $2:7$. Сколько незачетов исправили на зачеты?
10. КОМЕТЫ. Одну комету можно наблюдать невооруженным глазом через каждые $175$ лет, а другую — через каждые $140$ лет. В $2025$ году на небе были видны обе эти кометы. Через сколько лет это случится снова?
11. ПЛИТЫ. Квадратная площадь $60\times 60$ м выложена плитами $1\times 1$ м четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого так, что плиты одного цвета не соприкасаются даже углами. В одном из углов площади лежит красная плита. Сколько всего красных плит на площади?
12. ОТВЕРСТИЕ. Куб $7\times 7\times 7$ сложен из $343$ кубиков $1\times 1\times 1$. В центре каждой грани сделали сквозное квадратное отверстие длиной $7$ кубиков. Найдите площадь поверхности полученной фигуры. Площадь стенок отверстий тоже надо считать.
    
13. ПЕРИМЕТРЫ. Квадрат разделен на $3$ прямоугольников с одинаковым периметром, как показано на рисунке. Отмечен отрезок длиной $7$ см. Найдите длину стороны квадрата.
    
14. ЦИФРЫ. На электронных часах цифры в $12$-часовом формате от $00{:}01$ до $12{:}00$. Сколько минут за сутки в цифрах часов видны две одинаковые цифры и в цифрах минут — две одинаковые цифры? Например, $00{:}55$. Каждое показание высвечивается одну минуту.
15. ИГРУШКИ. Вова кладет все свои игрушки во все коробки. Вчера он положил по $1$ игрушке в $7$ коробок, а в остальные коробки — по $7$ игрушек. Сегодня он положил по $1$ игрушке в $13$ коробок, а в остальные коробки — по $13$ игрушек. Сколько у Вовы игрушек?
16. МОНЕТЫ. На столе лежали $30$ монет орлом вверх. Петя перевернул $19$ монет, затем Валя перевернула $20$ монет, потом Таня — $21$ монету. В результате все монеты оказались перевёрнутыми орлом вниз. Сколько монет перевернули трижды?

1. Задача. Решить уравнение $2(13-a)+3(7a-15)=a+17$.
   Решение. Раскроем скобки: $2(13-a)=26-2a$, $3(7a-15)=21a-45$. Тогда левая часть равна $(26-45)+(-2a+21a)=19a-19$. Получаем $19a-19=a+17$, значит $18a=36$, откуда $a=2$.
   Ответ. $2$.
2. Задача. От прямоугольника несколько раз отрезали квадраты со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. Получились $1$ большой квадрат, $2$ одинаковых средних и $4$ одинаковых маленьких. Сторона маленького квадрата $1$ см. Найти большую сторону исходного прямоугольника.
   Решение. Пусть стороны исходного прямоугольника $a>b$. Первый отрезанный квадрат имеет сторону $b$ (это большой квадрат), остаётся прямоугольник $(a-b)\times b$, и его меньшая сторона равна $a-b$ (это сторона средних квадратов). Средних квадратов получилось $2$, после них осталась полоска шириной $1$ см, значит $b=2(a-b)+1$. Из полоски $1\times (a-b)$ получились $4$ маленьких квадрата по $1$ см, поэтому $a-b=4$. Тогда $b=2\cdot 4+1=9$, а $a=b+4=13$.
   Ответ. $13$ см.
3. Задача. Петя пробегает $300$ м за $36$ с, а Ваня за $48$ с. Они стартовали одновременно, и Петя финишировал через $72$ с. Через сколько секунд после Пети финишировал Ваня?
   Решение. Скорость Пети $v_P=\frac{300}{36}=\frac{25}{3}$ м/с, поэтому за $72$ с он пробежал $S=\frac{25}{3}\cdot 72=600$ м. Скорость Вани $v_V=\frac{300}{48}=\frac{25}{4}$ м/с, значит его время на $600$ м равно $t=\frac{600}{25/4}=600\cdot\frac{4}{25}=96$ с. Петя финишировал через $72$ с, поэтому Ваня позже на $96-72=24$ с.
   Ответ. $24$ с.
4. Задача. За $500$ рублей можно купить $25$ драхм, а за $100$ драхм можно купить $25$ евро. Сколько рублей дают за $1$ евро?
   Решение. Найдём стоимость $1$ драхмы: $500:25=20$ рублей. Найдём, сколько драхм стоит $1$ евро: $100:25=4$ драхмы. Тогда $1$ евро стоит $4\cdot 20=80$ рублей.
   Ответ. $80$ рублей.
5. Задача. В пустой аквариум $30\times 40\times 50$ см (дно $30\times 40$ см) налили $24$ л воды. На какую высоту поднялась вода? ($1$ л $=$ $1$ дм$^3$.)
   Решение. $24$ л $=24$ дм$^3=24000$ см$^3$. Площадь дна $30\cdot 40=1200$ см$^2$. Высота воды $h=\frac{24000}{1200}=20$ см.
   Ответ. $20$ см.
6. Задача. Шестизначное число вида ***$551$ делится на $19$ и на $29$. Найти это число.
   Решение. Так как $19$ и $29$ взаимно просты, число должно делиться на $19\cdot 29=551$. Пусть число равно $1000k+551$, где $k$ — первые три цифры. Тогда условие делимости на $551$ даёт $1000k+551$ делится на $551$, значит $1000k$ делится на $551$. Так как $551$ не делится ни на $2$, ни на $5$, то $551$ и $1000$ взаимно просты, значит $k$ делится на $551$. Среди трёхзначных $k$ подходит только $k=551$. Тогда число $551551$.
   Ответ. $551551$.
7. Задача. На огороде $360$ морковок. $3$ козы съедят их за $4$ часа, а $5$ зайцев за $6$ часов. В огород зашла $1$ коза и $2$ зайца. За какое время они съедят все морковки?
   Решение. Одна коза съедает $\frac{360}{3\cdot 4}=30$ морковок в час. Один заяц съедает $\frac{360}{5\cdot 6}=12$ морковок в час. Тогда $1$ коза и $2$ зайца съедают за час $30+2\cdot 12=54$ морковки, значит время равно $\frac{360}{54}=\frac{20}{3}$ часа, то есть $6$ часов $40$ минут.
   Ответ. $6$ ч $40$ мин.
8. Задача. Даны три числа, их попарные суммы равны $123$, $270$, $385$. Найти меньшее из чисел.
   Решение. Пусть числа $x,y,z$. Тогда $x+y=123$, $x+z=270$, $y+z=385$. Сложим: $2(x+y+z)=123+270+385=778$, значит $x+y+z=389$. Тогда $x=389-(y+z)=389-385=4$. Это и есть наименьшее число.
   Ответ. $4$.
9. Задача. После экзамена поставили $30$ зачетов и $204$ незачета. Потом критерий изменили, и зачетов стало больше, а отношение зачетов к незачетам стало $2:7$. Сколько незачетов исправили на зачеты?
   Решение. Всего работ было $30+204=234$. Пусть после изменения стало $2k$ зачетов и $7k$ незачетов, тогда $2k+7k=234$, то есть $9k=234$, $k=26$. Значит, стало $2k=52$ зачетов и $7k=182$ незачета. Исправили $52-30=22$ незачета.
   Ответ. $22$.
10. Задача. Одну комету видно каждые $175$ лет, другую каждые $140$ лет. В $2025$ году были видны обе. Через сколько лет это повторится?
    Решение. Нужно наименьшее общее кратное чисел $175$ и $140$. Разложим: $175=25\cdot 7=5^2\cdot 7$, $140=4\cdot 35=2^2\cdot 5\cdot 7$. Тогда $\mathrm{НОК}=2^2\cdot 5^2\cdot 7=4\cdot 25\cdot 7=700$. Значит, снова обе кометы будут видны через $700$ лет.
    Ответ. $700$ лет.
11. Задача. Квадратная площадь $60\times 60$ м выложена плитами $1\times 1$ м четырёх цветов так, что плиты одного цвета не соприкасаются даже углами. В одном из углов лежит красная плита. Сколько всего красных плит?
    Решение. Рассмотрим любой квадрат $2\times 2$ из плиток. В нём любые две плитки соприкасаются стороной или углом, поэтому все $4$ плитки в таком блоке должны быть разных цветов, то есть в каждом блоке $2\times 2$ есть ровно одна красная плитка. Площадь $60\times 60$ разбивается на $(60:2)\cdot(60:2)=30\cdot 30=900$ таких блоков, значит красных плит тоже $900$.
    Ответ. $900$.
12. Задача. Куб $7\times 7\times 7$ сложен из кубиков $1\times 1\times 1$. В центре каждой грани сделали сквозное квадратное отверстие длиной $7$ кубиков. Найти площадь поверхности полученной фигуры, считая стенки отверстий.
    Решение. У исходного куба площадь поверхности $6\cdot 7\cdot 7=294$. Отверстия дают по одному «окну» $1\times 1$ на каждой из $6$ граней, значит снаружи исчезает $6$ квадратов, остаётся $294-6=288$. Удаляются кубики по трём центральным «коридорам» длины $7$, всего $7+7+7-2=19$ кубиков (центральный кубик посчитан трижды, поэтому вычитаем $2$). Центральный удалённый кубик не даёт стенок, а каждый из остальных $18$ удалённых кубиков имеет $4$ боковые грани, которые стали стенками отверстий, значит площадь стенок $18\cdot 4=72$. Итого $288+72=360$.
    Ответ. $360$.
13. Задача. Квадрат разделён на $3$ прямоугольника с одинаковым периметром, как на рисунке. Отмечен отрезок длиной $7$ см. Найти сторону квадрата.
    Решение. Пусть сторона квадрата равна $x$ см, а высота нижнего прямоугольника равна $7$ см. Тогда его периметр $2(x+7)$. Верхние прямоугольники имеют высоту $x-7$ и ширины $a$ и $x-a$, их периметры равны $2(a+x-7)$ и $2((x-a)+x-7)$. Из равенства периметров нижнего и левого верхнего: $x+7=a+x-7$, значит $a=14$. Из равенства периметров двух верхних: $a+x-7=(x-a)+x-7$, получаем $a=x-a$, то есть $x=2a=28$.
    Ответ. $28$ см.
14. Задача. На электронных часах время показывается в $12$-часовом формате от $00{:}01$ до $12{:}00$. Сколько минут за сутки на табло в цифрах часов видны две одинаковые цифры и в цифрах минут тоже две одинаковые цифры?
    Решение. Две одинаковые цифры в часах бывают только при часах $00$ и $11$. Для часа $00$ подходят минуты $11,22,33,44,55$ (минуты $00$ нет, так как показ начинается с $00{:}01$), это $5$ минут. Для часа $11$ подходят минуты $00,11,22,33,44,55$, это $6$ минут. За $12$ часов получаем $5+6=11$ минут, а за сутки таких $12$-часовых отрезка два, значит $11\cdot 2=22$ минуты.
    Ответ. $22$.
15. Задача. Вова кладёт все свои игрушки во все коробки. Вчера он положил по $1$ игрушке в $7$ коробок, а в остальные по $7$ игрушек. Сегодня он положил по $1$ игрушке в $13$ коробок, а в остальные по $13$ игрушек. Сколько у Вовы игрушек?
    Решение. Пусть коробок $b$, игрушек $T$. Вчера: $T=7\cdot 1+(b-7)\cdot 7=7b-42$. Сегодня: $T=13\cdot 1+(b-13)\cdot 13=13b-156$. Приравняем: $7b-42=13b-156$, значит $114=6b$, откуда $b=19$. Тогда $T=7\cdot 19-42=91$.
    Ответ. $91$.
16. Задача. На столе лежали $30$ монет орлом вверх. Петя перевернул $19$ монет, затем Валя $20$ монет, потом Таня $21$ монету. В конце все монеты оказались орлом вниз. Сколько монет перевернули трижды?
    Решение. Чтобы монета из орла стала решкой, её нужно перевернуть нечётное число раз, значит каждая монета была перевёрнута либо $1$ раз, либо $3$ раза. Пусть $x$ монет перевернули трижды, тогда $30-x$ монет перевернули один раз. Общее число переворотов равно $19+20+21=60$, то есть $(30-x)\cdot 1+x\cdot 3=30+2x=60$. Отсюда $2x=30$, $x=15$.
    Ответ. $15$.