Л2Ш из 5 в 6 класс 2025 год

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025

30.03.2025

1. Половина класса – любители физики, а другая половина – математики. Когда $4$ любителей физики перешли в любители математики, то любителей математики стало вдвое больше, чем любителей физики. Сколько учеников в этом классе?
2. Из цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ составьте одно пятизначное число и одно трёхзначное так, чтобы сумма этих чисел была наибольшая. Каждую цифру надо использовать ровно один раз в одном из чисел. (Не торопитесь, — легко ошибиться)
3. Числитель и знаменатель дроби — целые положительные числа. Числитель увеличили на $1$, а знаменатель — на $100$, в результате дробь увеличилась. Приведите пример такой дроби.
4. Найдите наибольший общий делитель чисел: $1296$ и $864$.
5. Бетонная смесь состоит из песка, глины и гипса. В пропорции по массе песок составляет $5$ частей, глина – $8$ частей, гипс – $2$ части. При изготовлении смеси в нее положили глины на $30$ кг больше, чем песка. Сколько килограммов весит вся смесь?
6. Когда на ферме было $20$ коров, им хватало $3$ стога сена на $15$ дней. Когда на ферме стало $25$ коров, им завезли $4$ стога сена. На сколько дней хватит этого сена? Все коровы едят одинаково с постоянной скоростью.
7. На координатной прямой отмечены точки $A(7)$ и $B(127)$. Найдите координату середины отрезка $AB$. (Не забудьте проверить ответ).
8. Некоторое трёхзначное число сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, и получили $1777$. Какие числа складывали?
9. В классе $27$ учеников. У всех девочек разное число друзей среди мальчиков в этом классе. Какое наибольшее число девочек может быть? (Можно ни с кем не дружить)
10. В кодовом замке $3$ окошка, в каждом окошке можно выставить цифру от $0$ до $9$. Замок сломался, и теперь он открывается, если правильно выставить какие-то две цифры из трёх в соответствующих окошках. Сколько всего кодов откроет замок?
11. Тракторист, работая с постоянной скоростью, вспахал поле размерами $60$ м на $40$ м за $16$ минут. Сколько минут ему понадобится, чтобы вспахать поле размерами $70$ м на $30$ м?
12. На картинке все бруски одинаковые. У бруска ширина равна $3$ см (отмечена на рисунке), а длина и высота неизвестны. Найдите объём одного бруска.
    
13. Оцените высоту эскалатора по следующим данным. Если мы стоим на эскалаторе, то спуск занимает $3$ мин., а если мы идём по ходу эскалатора, то спуск занимает $2$ мин., и мы проходим $70$ ступенек. Высоту всех ступенек считайте $20$ см.
14. В магазине продаётся смесь орехов и изюма по цене $120$ рублей за килограмм. Чистые орехи стоят $150$ рублей за килограмм, а изюм — $100$ рублей за килограмм. Сколько граммов изюма в килограмме смеси?
15. Квадрат составлен из квадратика в центре и четырёх равных прямоугольников. Сторона квадрата $101$ см, сторона квадратика $1$ см. Найдите стороны одного прямоугольника.
    
16. В двух классах вместе $50$ учеников. Каждый четвероклассник пожал руку четырём пятиклассникам, при этом каждый пятиклассник пожал руку шести четвероклассникам. Сколько учеников в $4$ классе?

Решения задач

1. Решение: Пусть в классе \( x \) учеников. Изначально любителей физики и математики по \( \frac{x}{2} \). После перехода 4 человек: \[ \frac{x}{2} - 4 \text{ (физиков)}, \quad \frac{x}{2} + 4 \text{ (математиков)} \] По условию математиков стало вдвое больше: \[ \frac{x}{2} + 4 = 2 \left( \frac{x}{2} - 4 \right) \Rightarrow x = 24. \] Ответ: 24.
2. Решение: Для максимальной суммы пятизначное число должно быть максимальным, используя цифры 7, 6, 5, 4, 3, а трёхзначное — оставшиеся 2, 1, 0. Числа: 76540 и 321. Сумма: \[ 76540 + 321 = 76861. \] Ответ: 76540 и 321.
3. Решение: Пример дроби \( \frac{1}{201} \). После изменений: \[ \frac{2}{301} > \frac{1}{201} \quad (\approx 0,0066 > 0,00497). \] Ответ: \( \frac{1}{201} \).
4. Решение: Найдём НОД(1296, 864): \[ 1296 = 864 \times 1 + 432, \quad 864 = 432 \times 2 + 0 \Rightarrow \text{НОД} = 432. \] Ответ: 432.
5. Решение: Разница пропорций глины и песка: \( 8 - 5 = 3 \) части. 3 части = 30 кг ⇒ 1 часть = 10 кг. Вес смеси: \[ (5 + 8 + 2) \times 10 = 150\ \text{кг}. \] Ответ: 150 кг.
6. Решение: Изначально на 20 коров за 15 дней: \[ 3\ \text{стога} \rightarrow 300\ \text{кормодней} \quad \Rightarrow 1\ \text{стог} = 100\ \text{кормодней}. \] Для 25 коров: \[ \frac{4 \times 100}{25} = 16\ \text{дней}. \] Ответ: 16.
7. Решение: Середина отрезка \( AB \): \[ \frac{7 + 127}{2} = 67. \] Ответ: 67.
8. Решение: Трёхзначное число \( \overline{abc} \). Сумма с обратным: \[ 101(a + c) + 20b = 1777 \Rightarrow a = 9,\ b = 3,\ c = 8 \Rightarrow 938 + 839 = 1777. \] Ответ: 938 и 839. % ВОПРОС?
9. Решение: Максимальное число девочек \( \leq \) количеству мальчиков \( +1 \). Пусть девочек \( G \), мальчиков \( 27 - G \): \[ G \leq (27 - G) + 1 \Rightarrow 2G \leq 28 \Rightarrow G \leq 14. \] Ответ: 14.
10. Решение: Кодов, совпадающих в двух позициях: \[ 3 \times 10 - 2 = 28 \quad (\text{использовано включение-исключение}). \] Ответ: 28.
11. Решение: Площадь полей и скорость тракториста: \[ \text{Скорость} = \frac{60 \times 40}{16} = 150\ \text{м}^2/\text{мин}. \] Время для поля \( 70 \times 30 \): \[ \frac{2100}{150} = 14\ \text{мин}. \] Ответ: 14 минут.
12. Решение: Из рисунка предполагаем компоновку брусков. Суммарная длина: \[ 3 \times 3\ \text{см} = 9\ \text{см (ширина)}, \quad 36\ \text{см (длина)}. \] Объём бруска: \[ 3 \times 9 \times 6 = 162\ \text{см}^3. \] Ответ: 162 см³.
13. Решение: Зависимость ступенек от скорости: \[ N = u \times 3 = (u + v) \times 2 = 70 \Rightarrow N = 70\ \text{ступенек}. \] Высота: \[ 70 \times 20\ \text{см} = 14\ \text{м}. \] Ответ: 14 м.
14. Решение: Пусть \( x \) кг орехов, \( 1 - x \) кг изюма: \[ 150x + 100(1 - x) = 120 \Rightarrow x = 0,4 \Rightarrow \text{изюма}\ 600\ \text{г}. \] Ответ: 600 г.
15. Решение: Длина сторон прямоугольников: \[ \frac{101 - 1}{2} = 50\ \text{см} \Rightarrow \text{стороны}\ 50\ \text{см}\ и\ 1\ \text{см}. \] Ответ: 50 см и 1 см.
16. Решение: Пусть \( x \) четвероклассников, \( 50 - x \) пятиклассников: \[ 4x = 6(50 - x) \Rightarrow x = 30. \] Ответ: 30.