Л2Ш из 5 в 6 класс 2025 год

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025

20.04.2025

1. УРАВНЕНИЕ. Решите уравнение: \(2(13-a)+3(7a-15)=a+17\)
2. РАЗМЕРЫ. Автомат отрезает от прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От некоторого прямоугольника несколько раз отрезали квадраты В результате получился $1$ большой квадрат, $2$ одинаковых средних и $4$ одинаковых маленьких. Сторона маленького квадрата $1$ см. Чему равна большая сторона исходного прямоугольника?
3. БЕГУНЫ. Петя пробегает $300$ м за $36$ с., а Ваня — за $48$ с. Они стартовали одновременно, и Петя финишировал через $72$ с. Через сколько секунд после Пети финишировал Ваня?
4. ОБМЕН. За $500$ рублей можно купить $25$ драхм. За $100$ драхм можно купить $25$ евро. Сколько рублей дают за $1$ евро?
5. АКВАРИУМ. В пустой аквариум размером $30\times 40\times 50$ см, дно которого $30\times 40$ см, налили $24$ л воды. На какую высоту (см) поднялась вода в аквариуме? ($1$ л $=$ $1$ дм$^3$)
6. ДЕЛИМОСТЬ. Шестизначное число ***$551$ делится на $19$ и на $29$. Какое это число?
7. ОГОРОД. На огороде $360$ морковок. $3$ козы съедят их за $4$ часа, а $5$ зайцев — за $6$ часов. В огород зашла коза и два зайца. Через какое время они съедят все морковки?
8. ПАРЫ. Даны три числа. Их попарные суммы: $123$, $270$, $385$. Чему равно меньшее из этих чисел?
9. ЗАЧЕТЫ. После экзамена поставили $30$ зачетов и $204$ незачета, но потом изменили критерий зачета, и зачетов стало больше, отношение числа зачетов к числу незачетов стало $2:7$. Сколько незачетов исправили на зачеты?
10. КОМЕТЫ. Одну комету можно наблюдать невооруженным глазом через каждые $175$ лет, а другую — через каждые $140$ лет. В $2025$ году на небе были видны обе эти кометы. Через сколько лет это случится снова?
11. ПЛИТЫ. Квадратная площадь $60\times 60$ м выложена плитами $1\times 1$ м четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого так, что плиты одного цвета не соприкасаются даже углами. В одном из углов площади лежит красная плита. Сколько всего красных плит на площади?
12. ОТВЕРСТИЕ. Куб $7\times 7\times 7$ сложен из $343$ кубиков $1\times 1\times 1$. В центре каждой грани сделали сквозное квадратное отверстие длиной $7$ кубиков. Найдите площадь поверхности полученной фигуры. Площадь стенок отверстий тоже надо считать.
    
13. ПЕРИМЕТРЫ. Квадрат разделен на $3$ прямоугольников с одинаковым периметром, как показано на рисунке. Отмечен отрезок длиной $7$ см. Найдите длину стороны квадрата.
    
14. ЦИФРЫ. На электронных часах цифры в $12$-часовом формате от $00{:}01$ до $12{:}00$. Сколько минут за сутки в цифрах часов видны две одинаковые цифры и в цифрах минут — две одинаковые цифры? Например, $00{:}55$. Каждое показание высвечивается одну минуту.
15. ИГРУШКИ. Вова кладет все свои игрушки во все коробки. Вчера он положил по $1$ игрушке в $7$ коробок, а в остальные коробки — по $7$ игрушек. Сегодня он положил по $1$ игрушке в $13$ коробок, а в остальные коробки — по $13$ игрушек. Сколько у Вовы игрушек?
16. МОНЕТЫ. На столе лежали $30$ монет орлом вверх. Петя перевернул $19$ монет, затем Валя перевернула $20$ монет, потом Таня — $21$ монету. В результате все монеты оказались перевёрнутыми орлом вниз. Сколько монет перевернули трижды?

Решения задач

1. Решите уравнение: \(2(13-a)+3(7a-15)=a+17\)
   Решение: \[ 2(13 - a) + 3(7a - 15) = a + 17 \\ 26 - 2a + 21a - 45 = a + 17 \\ 19a - 19 = a + 17 \\ 18a = 36 \\ a = 2 \] Ответ: 2.
2. Автомат отрезает от прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От некоторого прямоугольника несколько раз отрезали квадраты. В результате получился 1 большой квадрат, 2 одинаковых средних и 4 одинаковых маленьких. Сторона маленького квадрата 1 см. Чему равна большая сторона исходного прямоугольника?
   Решение: Используя алгоритм Евклида для последовательного отрезания квадратов, находим исходные стороны. Стороны квадратов уменьшаются как 13, 9, 4, 1 см. Исходная большая сторона прямоугольника — 13 см.
   Ответ: 13 см.
3. Петя пробегает 300 м за 36 с, Ваня — за 48 с. Одновременный старт, Петя финишировал через 72 с. Через сколько секунд после Пети финишировал Ваня?
   Решение: Петя пробежал 600 м за 72 с. Ване потребовалось: \(600 / 6.25 = 96\) с. Разница: \(96 - 72 = 24\) с.
   Ответ: 24.
4. За 500 рублей — 25 драхм, за 100 драхм — 25 евро. Сколько рублей за 1 евро?
   Решение: \[ 1\) драхма = 500 / 25 = 20\) руб. \\ 25\) евро = 100 драхм ⇒ 1 евро = 4 драхмы ⇒ 4 \cdot 20 = 80\) руб. \] Ответ: 80.
5. Аквариум 30×40×50 см. Налили 24 л воды. На какую высоту поднялась вода?
   Решение: Объем воды 24 дм³ = 24000 см³. Высота: \(24000 / (30 \cdot 40) = 20\) см.
   Ответ: 20 см.
6. Шестизначное число ***551 делится на 19 и 29. Какое это число?
   Решение: Число должно быть кратно 551 (19×29). Наименьшее такое число: \(551 \cdot 1001 = 551551\).
   Ответ: 551551.
7. 3 козы съедят 360 морковок за 4 ч, 5 зайцев — за 6 ч. Коза и два зайца за сколько съедят?
   Решение: Скорости: коза —30 мор/ч, заяц —12 мор/ч. Совместно: \(30 + 24 = 54\) мор/ч. Время: \(360 / 54 = \frac{20}{3}\) ч.
   Ответ: 6⅔.
8. Попарные суммы трёх чисел: 123, 270, 385. Наименьшее число?
   Решение: \[ a + b = 123 \\ a + c = 270 \\ b + c = 385 \\ a = 4, b = 119, c = 266 \] Ответ: 4.
9. Изначально 30 зачетов и 204 незачета. После исправления отношение зачетов к незачетам 2:7. Сколько исправили?
   Решение: \[ \frac{30 + x}{204 - x} = \frac{2}{7} \\ x = 22 \] Ответ: 22.
10. Кометы видны каждые 175 и 140 лет. Следующее совместное появление?
    Решение: НОК(175, 140) =700.
    Ответ: через 700 лет.
11. Квадратная площадь 60×60 м, красная плита в углу. Сколько красных плит?
    Решение: Раскраска без соприкосновений требует повторения цветов через блок 2×2. Всего красных плит: \( (60 \cdot 60) / 4 = 900\).
    Ответ: 900.
12. Куб 7×7×7 с отверстиями. Площадь поверхности?
    Решение: Изначальная площадь 294. Добавили внутренние стенки трех отверстий: \(3 \cdot (4 \cdot 7 - 2) =78\). Итого: \(294 + 78 =372\).
    Ответ: 372.
13. Квадрат разделён на три прямоугольника с одинаковым периметром. Ответ:28 см.
    Решение: Периметры равны при соотношении сторон 7,14,21. Сторона квадрата:28 см.
    Ответ:28 см.
14. Часы с двумя одинаковыми цифрами в часах и минутах.
    Решение: 00:11, 00:22, ..., 11:55. Всего 5 +6=11 раз.
    Ответ:11.
15. Игрушки в коробках. Общее число коробок 19. Игрушек: \(7 + 7 \cdot 12 = 91\).
    Ответ:91.
16. Монеты перевёрнуты трижды.
    Решение: 60 переворотов. Каждая монета перевернута нечётное раз. Решение:15 монет перевернуты 3 раза.
    Ответ:15.