8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Л2Ш из 5 в 6 класс 2025 год

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 20.04.2025
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ Вторая школа


2025


20.04.2025

  1. УРАВНЕНИЕ. Решите уравнение: \(2(13-a)+3(7a-15)=a+17\)
  2. РАЗМЕРЫ. Автомат отрезает от прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От некоторого прямоугольника несколько раз отрезали квадраты В результате получился $1$ большой квадрат, $2$ одинаковых средних и $4$ одинаковых маленьких. Сторона маленького квадрата $1$ см. Чему равна большая сторона исходного прямоугольника?
  3. БЕГУНЫ. Петя пробегает $300$ м за $36$ с., а Ваня — за $48$ с. Они стартовали одновременно, и Петя финишировал через $72$ с. Через сколько секунд после Пети финишировал Ваня?
  4. ОБМЕН. За $500$ рублей можно купить $25$ драхм. За $100$ драхм можно купить $25$ евро. Сколько рублей дают за $1$ евро?
  5. АКВАРИУМ. В пустой аквариум размером $30\times 40\times 50$ см, дно которого $30\times 40$ см, налили $24$ л воды. На какую высоту (см) поднялась вода в аквариуме? ($1$ л $=$ $1$ дм$^3$)
  6. ДЕЛИМОСТЬ. Шестизначное число ***$551$ делится на $19$ и на $29$. Какое это число?
  7. ОГОРОД. На огороде $360$ морковок. $3$ козы съедят их за $4$ часа, а $5$ зайцев — за $6$ часов. В огород зашла коза и два зайца. Через какое время они съедят все морковки?
  8. ПАРЫ. Даны три числа. Их попарные суммы: $123$, $270$, $385$. Чему равно меньшее из этих чисел?
  9. ЗАЧЕТЫ. После экзамена поставили $30$ зачетов и $204$ незачета, но потом изменили критерий зачета, и зачетов стало больше, отношение числа зачетов к числу незачетов стало $2:7$. Сколько незачетов исправили на зачеты?
  10. КОМЕТЫ. Одну комету можно наблюдать невооруженным глазом через каждые $175$ лет, а другую — через каждые $140$ лет. В $2025$ году на небе были видны обе эти кометы. Через сколько лет это случится снова?
  11. ПЛИТЫ. Квадратная площадь $60\times 60$ м выложена плитами $1\times 1$ м четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого так, что плиты одного цвета не соприкасаются даже углами. В одном из углов площади лежит красная плита. Сколько всего красных плит на площади?
  12. ОТВЕРСТИЕ. Куб $7\times 7\times 7$ сложен из $343$ кубиков $1\times 1\times 1$. В центре каждой грани сделали сквозное квадратное отверстие длиной $7$ кубиков. Найдите площадь поверхности полученной фигуры. Площадь стенок отверстий тоже надо считать.
  13. ПЕРИМЕТРЫ. Квадрат разделен на $3$ прямоугольников с одинаковым периметром, как показано на рисунке. Отмечен отрезок длиной $7$ см. Найдите длину стороны квадрата.
  14. ЦИФРЫ. На электронных часах цифры в $12$-часовом формате от $00{:}01$ до $12{:}00$. Сколько минут за сутки в цифрах часов видны две одинаковые цифры и в цифрах минут — две одинаковые цифры? Например, $00{:}55$. Каждое показание высвечивается одну минуту.
  15. ИГРУШКИ. Вова кладет все свои игрушки во все коробки. Вчера он положил по $1$ игрушке в $7$ коробок, а в остальные коробки — по $7$ игрушек. Сегодня он положил по $1$ игрушке в $13$ коробок, а в остальные коробки — по $13$ игрушек. Сколько у Вовы игрушек?
  16. МОНЕТЫ. На столе лежали $30$ монет орлом вверх. Петя перевернул $19$ монет, затем Валя перевернула $20$ монет, потом Таня — $21$ монету. В результате все монеты оказались перевёрнутыми орлом вниз. Сколько монет перевернули трижды?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач

  1. Решите уравнение: \(2(13-a)+3(7a-15)=a+17\)
    Решение:
    \(2(13 - a) + 3(7a - 15) = a + 17\)
    \(26 - 2a + 21a - 45 = a + 17\)
    \(19a - 19 = a + 17\)
    \(18a = 36\)
    \(a = 2\)
    Ответ: 2.
  2. Автомат отрезает от прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От некоторого прямоугольника несколько раз отрезали квадраты В результате получился 1 большой квадрат, 2 одинаковых средних и 4 одинаковых маленьких. Сторона маленького квадрата 1 см. Чему равна большая сторона исходного прямоугольника?
    Пусть стороны исходного прямоугольника a и b, где a > b.
    После нескольких отрезаний получились квадраты трёх размеров:
    1 большой, 2 средних и 4 маленьких.
    Пусть стороны квадратов x, y, z, где z = 1.
    Так как размеры уменьшаются по правилу Евклида, получаем отношение:
    x : y : z = 3 : 2 : 1
    Следовательно, x = 3, y = 2, z = 1.
    Из прямоугольника со сторонами 3 и 2 отрезается квадрат 2 × 2, остаётся прямоугольник 1 × 2.
    Из него получаются два квадрата 1 × 1.
    Чтобы получить все квадраты 3×3, 2×2 и 1×1, исходный прямоугольник должен иметь стороны:
    3 + 2 + 1 = 6 и 3.
    Ответ: 6 см
  3. Петя пробегает 300 м за 36 с, Ваня — за 48 с. Одновременный старт, Петя финишировал через 72 с. Через сколько секунд после Пети финишировал Ваня?
    Решение: Петя пробежал 600 м за 72 с так как 300 м он пробегает за 36 с. Ваня бежит 100 метров за \(48 :3 = 16\) cекунд , а \(16 \cdot 6 = 96\) секунд он тратит на 600 метров . Разница: \(96 - 72 = 24\) с.
    Ответ: 24.
  4. За 500 рублей — 25 драхм, за 100 драхм — 25 евро. Сколько рублей за 1 евро?
    Решение: 1 драхм = \( 500 / 25 = 20\) руб.
    \(25\) евро = \(100\) драхм ; \(1\) евро =\( 100/25 =4\) драхмы ; \(4 \cdot 20 = 80\) руб. Ответ: 80.
  5. Аквариум 30×40×50 см. Налили 24 л воды. На какую высоту поднялась вода?
    Решение: Объем воды 24л = 24000 см³. Высота:\(24000 / S_{осн}\)= \(24000 / (30 \cdot 40) = 20\) см.
    Ответ: 20 см.
  6. Шестизначное число ***551 делится на 19 и 29. Какое это число?
    Решение: Число должно быть кратно 551 (19×29), заканчиваться на 551 и состоять из 6 цифр. Наименьшее такое число: \(551 \cdot 1001 = 551551\). 1001 единсвтенное так как, чтобы получить 6 чисел мы должны умножить на 1000, а чтобы получить 551 на конце мы должны умножить на 1001
    Ответ: 551551.
  7. 3 козы съедят 360 морковок за 4 ч, 5 зайцев — за 6 ч. Коза и два зайца за сколько съедят?
    Решение: Скорости: коза —30 мор/ч, заяц —12 мор/ч. Совместно: \(30 + 24 = 54\) мор/ч. Время: \(360 / 54 = \frac{20}{3}\) ч.
    Ответ: 6⅔.
  8. Попарные суммы трёх чисел: 123, 270, 385. Наименьшее число?
    Решение: Пусть a - 1 чсило, b - 2 число, c - 3 число \(a + b = 123\)
    \(a + c = 270\)
    \(b + c = 385\)
    \(a = 4, b = 119, c = 266\) Ответ: 4.
  9. Изначально 30 зачетов и 204 незачета. После исправления отношение зачетов к незачетам 2:7. Сколько исправили?
    Решение: \[ \frac{30 + x}{204 - x} = \frac{2}{7}\] \[210+7x = 408-2x \] \[9x = 198 \] \[x=22 \] Ответ: 22.
  10. Кометы видны каждые 175 и 140 лет. Следующее совместное появление?
    Решение: Ответом является НОК, следовательно нам нужно его найти \(175 = 5 \cdot 5 \cdot 7\);\(140=2\cdot2\cdot5\cdot7\)
    НОК(175, 140) =\(2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot7=700\).
    Ответ: через 700 лет.
  11. Площадь — квадрат \(60 \times 60\) метров. Её выложили плитками \(1 \times 1\) четырёх цветов: белыми, красными, синими и зелёными.
    Плиты одного цвета не соприкасаются даже углами. Это значит, что каждая красная плита должна быть отделена тремя другими цветами.
    Цвета повторяются через каждые 4 клетки, то есть образуют узор с блоком \(4 \times 4\).
    В каждом блоке \(4 \times 4\) находится ровно одна красная плита.
    Количество блоков по каждой стороне:
    \(\frac{60}{4} = 15\)
    Всего блоков:
    \(15 \times 15 = 225\)
    Ответ: 225 красных плит.
  12. Куб 7×7×7 с отверстиями. Площадь поверхности?
    Решение: Изначальная площадь 294. Добавили внутренние стенки трех отверстий: \(3 \cdot (4 \cdot 7 - 2) =78\). Итого: \(294 + 78 =372\).
    Ответ: 372.
  13. Квадрат разделён на три прямоугольника с одинаковым периметром, как показано на рисунке. Отмечен отрезок длиной \( 7\,\text{см} \). Найти длину стороны квадрата.
    Решение:
    Пусть сторона квадрата равна a.
    Пусть высота нижнего прямоугольника равна x.
    Тогда высота верхних прямоугольников равна a - x.
    Поскольку квадрат разделён пополам вертикальной линией, ширина каждого верхнего прямоугольника равна $\dfrac{a}{2}$.
    1. Периметр верхнего прямоугольника:
    \(P_1 = 2\left(\frac{a}{2} + (a - x)\right) = 2\left(\frac{3a}{2} - x\right) = 3a - 2x\)
    [ 2. Периметр нижнего прямоугольника:
    \(P_2 = 2(a + x) = 2a + 2x\)
    3. По условию, периметры равны:
    \(3a - 2x = 2a + 2x\)
    4. Решаем уравнение:
    \(a = 4x\)
    5. Из рисунка известно
    $x = 7$ см
    6. Тогда сторона квадрата:
    $a = 4 \cdot 7 = 28 $см
    Ответ: a = 28 см
  14. Часы с двумя одинаковыми цифрами в часах и минутах.
    Решение: 00:11, 00:22, ...,(5 раз в 00) 11:00, 11:11, ... (6 раз в 11 часу). Всего 5 +6=11 раз.
    Ответ:11.
  15. Пусть у Вовы всего x коробок.
    Вчера:
    По 1 игрушке в 7 коробок, а в остальные (x - 7) коробок — по 7 игрушек.
    Значит, вчера у него было:
    \(7 \times 1 + (x - 7) \times 7 = 7 + 7x - 49 = 7x - 42 \)
    Сегодня:
    По 1 игрушке в 13 коробок, а в остальные (x - 13) коробок — по 13 игрушек.
    Значит, сегодня у него стало:
    \(13 \times 1 + (x - 13) \times 13 = 13 + 13x - 169 = 13x - 156\)
    Так как Вова кладёт все свои игрушки во все коробки, то:
    \(7x - 42 = 13x - 156\)
    Решим уравнение:
    \(114 = 6x\)
    \(x = 19\)
    Найдём, сколько у него игрушек:
    \(7x - 42 = 7 \times 19 - 42 = 133 - 42 = 91 \)
    Ответ: 91
  16. Всего было 30 монет орлом вверх.
    Каждый раз монета меняет положение. В конце все стали орлом вниз, значит, каждая монета переворачивалась нечётное количество раз (1 или 3 раза).
    Пусть x — количество монет, которые перевернули трижды. Тогда (30 - x) монет перевернули один раз.
    Всего переворотов:
    \(19 + 20 + 21 = 60 \)
    С другой стороны:Если x монет перевернули 3 раза, а остальные 30−x монет — 1 раз, то всего переворотов тоже:
    \(3x + 1(30 - x) = 3x + 30 - x = 2x + 30\)
    Приравняем:
    \(2x + 30 = 60\)
    \(2x = 30\)
    \(x = 15\)
    Ответ: 15 монет перевернули трижды.
Материалы школы Юайти