8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Курчатовская школа из 9 в 10 класс 2024 год

Сложность:
Дата экзамена: 2024
Сложность:
Дата экзамена: 2024
youit.school ©

Курчатовская школа


2024


Вариант 2



  1. Одна таблетка лекарства весит 60 мг и содержит 8% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1{,}2 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 8 кг в течение суток?

  2. Найдите значение выражения: \[ \left(\frac{m - n}{m^2 + mn} + \frac{1}{m} \right) : \frac{m}{m + n}, \quad \text{при } m = -0{,}25,\ n = \sqrt{5} - 1 \]

  3. Найдите значение выражения: \[ (\sqrt{17} + 7)^2 - 14\sqrt{17} \]

  4. Решите уравнение: \[ \frac{y + 5}{y + 1} - \frac{8}{y - 1} + \frac{16}{y^2 - 1} = 0 \]

  5. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 7x + 6 \le 0 \\ -0{,}7x \ge 4{,}2 \end{cases} \]

  6. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80 см, а площадь — 320 см², можно вписать окружность. Найдите высоту трапеции.

  7. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) к гипотенузе \(AB\) проведены высота \(CH\) и медиана \(CM\). Известно, что \(CM = 10\), а отрезки \(AH\) и \(HB\) относятся как 1:4. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Одна таблетка лекарства весит 60 мг и содержит 8% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1{,}2 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 8 кг в течение суток?
    Решение: Суточная доза активного вещества для ребёнка:
    $1{,}2 \text{ мг/кг} \cdot 8 \text{ кг} = 9{,}6 \text{ мг}$.
    Количество активного вещества в одной таблетке:
    $60 \text{ мг} \cdot 0{,}08 = 4{,}8 \text{ мг}$.
    Необходимое количество таблеток:
    $\frac{9{,}6}{4{,}8} = 2$.
    Ответ: 2.

  2. Найдите значение выражения: \[ \left(\frac{m - n}{m^2 + mn} + \frac{1}{m} \right) : \frac{m}{m + n}, \quad \text{при } m = -0{,}25,\ n = \sqrt{5} - 1 \]
    Решение: Упростим выражение:
    $\left(\frac{m - n}{m(m + n)} + \frac{m + n}{m(m + n)} \right) \cdot \frac{m + n}{m} = \frac{2m}{m(m + n)} \cdot \frac{m + n}{m} = \frac{2}{m}$.
    Подставим $m = -0{,}25$:
    $\frac{2}{-0{,}25} = -8$.
    Ответ: -8.

  3. Найдите значение выражения: \[ (\sqrt{17} + 7)^2 - 14\sqrt{17} \]
    Решение: Раскроем квадрат:
    $(\sqrt{17})^2 + 2 \cdot \sqrt{17} \cdot 7 + 7^2 - 14\sqrt{17} = 17 + 14\sqrt{17} + 49 - 14\sqrt{17} = 66$.
    Ответ: 66.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{y + 5}{y + 1} - \frac{8}{y - 1} + \frac{16}{y^2 - 1} = 0 \]
    Решение: Умножим обе части на $(y^2 - 1)$:
    $(y + 5)(y - 1) - 8(y + 1) + 16 = 0$.
    Раскроем скобки:
    $y^2 + 4y - 5 - 8y - 8 + 16 = y^2 - 4y + 3 = 0$.
    Корни уравнения:
    $y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow y = 3$ или $y = 1$.
    Проверка ОДЗ: $y \neq 1, -1$. Ответ: 3.
    Ответ: 3.

  5. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 7x + 6 \le 0 \\ -0{,}7x \ge 4{,}2 \end{cases} \]
    Решение: Решим первое неравенство:
    $x^2 + 7x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$, $x = -1$. Решение: $x \in [-6; -1]$.
    Второе неравенство:
    $-0{,}7x \ge 4{,}2 \Rightarrow x \le -6$.
    Пересечение решений: $x = -6$.
    Ответ: -6.

  6. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80 см, а площадь — 320 см², можно вписать окружность. Найдите высоту трапеции.
    Решение: В трапецию можно вписать окружность $\Rightarrow$ суммы оснований и боковых сторон равны:
    $a + b = 2c$, где $c$ — боковая сторона. Периметр: $2(a + b) = 80 \Rightarrow a + b = 40$.
    Площадь трапеции:
    $\frac{a + b}{2} \cdot h = 320 \Rightarrow 20h = 320 \Rightarrow h = 16$.
    Ответ: 16 см.

  7. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) к гипотенузе \(ABены высены высота \(CH\) и медиана \(CM\). Известно, что \(CM = 10\), а отрезки \(AH\) и \(HB\) относятся как 1:4. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
    Решение: Медиана к гипотенузе равна её половине: $AB = 2CM = 20$.
    Отношение $AH:HB = 1:4 \Rightarrow AH = 4$, $HB = 16$.
    Высота CH = $\sqrt{AH \cdot HB} = \sqrt{4 \cdot 16} = 8$.
    Площадь треугольника:
    $\frac{AB \cdot CH}{2} = \frac{20 \cdot 8}{2} = 80$.
    Ответ: 80.
Материалы школы Юайти