Курчатовская школа из 9 в 10 класс 2024 год

Курчатовская школа

2024

Вариант 1

1. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1{,}4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{a^2 - 4b^2}{2ab} \div \left(\frac{1}{2b} - \frac{1}{a}\right), \quad \text{при } a = 3 \frac{1}{19},\ b = 5 \frac{5}{19} \]
   
   
3. Найдите значение выражения: \[ (\sqrt{13} + 3)^2 - 6\sqrt{13} \]
   
   
4. Решите уравнение: \[ \frac{y - 10}{y - 4} + \frac{1}{y + 4} + \frac{44}{y^2 - 16} = 0 \]
   
   
5. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 9x + 8 \le 0 \\ -0{,}3x \ge 2{,}4 \end{cases} \]
   
   
6. В трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) вдвое больше основания \(BC\) и вдвое больше боковой стороны \(CD\). Угол \( \angle ADC = 60^\circ \), \(BD = 4\). Найдите сторону \(CD\).
   
   
7. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) к гипотенузе \(AB\) проведены высота и медиана. Высота равна 12, медиана — 18. Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Решения задач

1. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1{,}4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?
   Решение: Найдем количество активного вещества в одной таблетке:
   $20 \text{ мг} \cdot 0,05 = 1 \text{ мг}$.
   Суточная норма для ребенка:
   $5 \text{ кг} \cdot 1,4 \text{ мг/кг} = 7 \text{ мг}$.
   Количество таблеток:
   $\frac{7 \text{ мг}}{1 \text{ мг/таблетка}} = 7$ таблеток.
   Ответ: 7.
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \frac{a^2 - 4b^2}{2ab} \div \left(\frac{1}{2b} - \frac{1}{a}\right), \quad \text{при } a = 3 \frac{1}{19},\ b = 5 \frac{5}{19} \]
   Решение: Упростим выражение:
   $\frac{(a-2b)(a+2b)}{2ab} \div \frac{a - 2b}{2ab} = \frac{(a-2b)(a+2b)}{2ab} \cdot \frac{2ab}{a - 2b} = a + 2b$.
   Подставим значения:
   $a = \frac{58}{19},\ b = \frac{100}{19}$.
   $a + 2b = \frac{58}{19} + 2 \cdot \frac{100}{19} = \frac{58 + 200}{19} = \frac{258}{19} = 13\frac{11}{19}$.
   Ответ: $13\frac{11}{19}$.
   
   
3. Найдите значение выражения: \[ (\sqrt{13} + 3)^2 - 6\sqrt{13} \]
   Решение: Раскроем квадрат суммы:
   $(\sqrt{13})^2 + 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 3 + 3^2 - 6\sqrt{13} = 13 + 6\sqrt{13} + 9 - 6\sqrt{13} = 22$.
   Ответ: 22.
   
   
4. Решите уравнение: \[ \frac{y - 10}{y - 4} + \frac{1}{y + 4} + \frac{44}{y^2 - 16} = 0 \]
   Решение: Приведем к общему знаменателю $(y-4)(y+4)$:
   $(y-10)(y+4) + (y-4) + 44 = 0$.
   Раскроем скобки:
   $y^2 - 6y - 40 + y - 4 + 44 = 0$.
   Упростим:
   $y^2 - 5y = 0 \Rightarrow y(y - 5) = 0$.
   Корни: $y = 0$ и $y = 5$. Проверим ОДЗ: $y \neq \pm4$. Оба корня подходят.
   Ответ: 0; 5.
   
   
5. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 9x + 8 \le 0 \\ -0{,}3x \ge 2{,}4 \end{cases} \]
   Решение: Решим первое неравенство:
   $x^2 + 9x + 8 \le 0 \Rightarrow (x+1)(x+8) \le 0 \Rightarrow x \in [-8; -1]$.
   Второе неравенство:
   $-0,3x \ge 2,4 \Rightarrow x \le -8$.
   Пересечение решений: $x = -8$.
   Ответ: -8.
   
   
6. В трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) вдвое больше основания \(BC\) и вдвое больше боковой стороны \(CD\). Угол \( \angle ADC = 60^\circ \), \(BD = 4\). Найдите сторону \(CD\).
   Решение: Пусть $CD = x$, тогда $AD = 2x$, $BC = x$. Проведем высоту $CH$ из точки $C$ на $AD$. В треугольнике $CDH$ с углом $60^\circ$:
   $DH = \frac{x}{2}$, $CH = \frac{x\sqrt{3}}{2}$.
   Рассмотрим треугольник $BDH$:
   $BD^2 = BH^2 + DH^2 \Rightarrow 16 = \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3x}{2}\right)^2$.
   Решая уравнение, получим $x = 4$.
   Ответ: 4.
   
   
7. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) к гипотенузе \(AB\) проведены высота и медиана. Высота равна 12, медиана — 18. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
   Решение: Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы:
   $AB = 2 \cdot 18 = 36$.
   Площадь треугольника можно найти через высоту:
   $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 12 = 216$.
   Ответ: 216.