Курчатовская школа из 5 в 6 класс 2015 год 2 тур

Курчатовская олимпиада, 6 класс, II тур, апрель 2015 года

Обязательно запиши объяснение каждого своего решения.

1. Заяц и козлик участвуют в беге по кругу. Они пробегут много кругов, причём заяц пробегает один круг за 7 минут, а козлик — за 11 минут. Ровно в 10 часов утра заяц и козлик стартуют из точки A в одном и том же направлении. Сколько времени покажут часы, когда они впервые снова вместе окажутся в точке A?
2. Вычеркните три цифры в числе 23462141 так, чтобы получившееся число делилось на 12. (Достаточно указать один вариант решения.)
3. 100 кг грибов. Содержание воды в них 99%. Когда грибы подсушили, в них содержание воды снизилось до 90%. Какова стала масса подсушенных грибов?
4. Существует ли такое число, которое при чтении справа налево увеличивается в 6 раз? Ответ должен быть обоснован.
5. Можно ли из цифр 3, 4, 5, 9, 9 составить пятизначное число, являющееся квадратом натурального числа?
6. Весь путь автобус ехал с неизменной скоростью. В первую часть пути автобус проехал столько километров, сколько минут ему осталось ехать. Во вторую часть пути автобус проехал столько километров, сколько минут он ехал в первую часть пути. Какова скорость автобуса? Обязательно запиши объяснение своего решения.
7. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. Пете было известно, что на каждом этаже одинаковое число квартир и первая квартира в первом подъезде имеет номер 1. На каком этаже живёт Саша?

Решения задач

1. Заяц и козлик окажутся вместе в точке A через наименьшее общее кратное их времени круга:
   $\text{НОК}(7, 11) = 7 \cdot 11 = 77$ минут.
   77 минут = 1 час 17 минут.
   Время встречи: $10:00 + 1:17 = 11:17$.
   Ответ: 11:17.
   
   
2. Вычеркнем цифры 3, 1, 1 в числе \texttt{23462141}, останется число 24624. Проверим делимость на 12:
   Делится на 4: $\underline{24}$ делится на 4.
   Делится на 3: сумма цифр $2 + 4 + 6 + 2 + 4 = 18$, делится на 3.
   Ответ: 24624 (или другой допустимый вариант).
   
   
3. Изначально сухая масса грибов: $100 \cdot (1 - 0,99) = 1$ кг. После сушки сухая масса составляет $10\%$ массы:
   $1$ кг = $10\%$ массы $\Rightarrow$ масса = $\frac{1}{0,1} = 10$ кг.
   Ответ: 10 кг.
   
   
4. Предположим, число существует: $k$ — исходное число, $rev(k)$ — обратное. Тогда:
   $rev(k) = 6k$.
   Проверка для чисел различных разрядов не даёт решений, кроме $k=0$. Поскольку число должно быть натуральным, решения нет.
   Ответ: не существует.
   
   
5. Сумма цифр 3,4,5,9,9 равна 30, что делится на 3. Квадрат должен делиться на 3 и иметь окончание 0,1,4,5,6,9. Все подходящие пятизначные числа из этих цифр проверены — ни одно не является квадратом.
   Ответ: нельзя.
   
   
6. Пусть скорость автобуса $v$ км/ч. Пусть до конца пути осталось $t$ минут после первого участка. Тогда:
   Первый участок: $S_1 = v \cdot \frac{t}{60}$ км = $T - t$ км (где $T$ — полное время в минутах).
   Второй участок: $S_2 = v \cdot \frac{t}{60}$ км = $t$ мин.
   Решение системы уравнений даёт $v = 60$ км/ч.
   Ответ: 60 км/ч.
   
   
7. Пусть квартира 468 находится в 8-м подъезде. Всего квартир в подъезде:
   $\left\lfloor \frac{468}{8} \right\rfloor = 58,5 \Rightarrow$ 60 квартир на подъезд (кратно 12 этажам).
   Квартир на этаж: $60 / 12 = 5$. Местоположение квартиры:
   $\frac{468 - 1}{5} = 93,4$, округление до 94-го места $\Rightarrow$ 10-й этаж.
   Ответ: 10 этаж.