Курчатовская школа из 5 в 6 класс 2015 год

Курчатовская олимпиада, 6 класс, 8 февраля 2015 года

1. Джо ведёт сложные вычисления с большими числами и каждую секунду сообщает Биллу три последние цифры очередного результата. Если за 20 минут эти три цифры ни разу не повторятся, то Джо получит большой приз, а если повторятся — этот приз получит Билл. Кто же получит приз?
2. «Какое чудо!» — воскликнула Алиса, увидев необыкновенной красоты бабочку. Но не успела она ахнуть, как бабочка превратилась в пять таких же красавиц, а некоторые ещё в пять, и этот процесс продолжался некоторое время и остановился. «Могло ли получиться ровно 2015 бабочек?» — подумала Алиса. Решите задачу Алисы и обоснуйте свой ответ.
3. В выражении «МОЛОКО ДЛЯ КОШКИ» каждой букве соответствует определённая цифра. При этом разным буквам соответствуют разные цифры. Может ли сумма всех цифр, используемых в данном выражении, равняться 100?
4. «Какие же мы с тобой старые!» — воскликнул гном Ворчун, обращаясь к гному Мудрецу. «Если разность наших лет умножить на произведение лет, то получится 203641». «Неужели?» — вмешался гном Весельчак. «Такого быть не может». Прав ли гном Весельчак? Объясните ваш ответ.
5. Учительница принесла в класс счётные палочки. Когда разложили их по 2 палочки в каждый пакетик, то осталась одна лишняя палочка. Когда разложили по 13 штук в пакетик, то осталось 7 лишних. А вот когда разложили по 9 штук в пакетик, то лишних палочек не было. Какое наименьшее число палочек могла принести учительница?
6. Дано числовое выражение \[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10. \]
   1. Какие две последние цифры данного произведения?
   2. Какое наименьшее количество множителей нужно вычеркнуть, чтобы оставшееся произведение оканчивалось на 8? Какие это множители?

Решения задач

1. Кто получит приз?
   За 20 минут Джо сообщит 20 × 60 = 1200 наборов трёх цифр. Всего существует 1000 различных трёхзначных комбинаций (от 000 до 999). По принципу Дирихле, среди 1200 наборов хотя бы один повтор неизбежен.
   Ответ: Билл.
   
   
2. Могло ли получиться 2015 бабочек?
   Каждое превращение увеличивает число бабочек на число, кратное 4 (1 → 5, увеличение на 4). Возможные количества бабочек: \(1, 5, 25, 125, ...\) (степени 5). Число 2015 не является степенью 5.
   Ответ: Нет.
3. Сумма цифр в выражении "МОЛОКО ДЛЯ КОШКИ".
   В выражении 8 различных букв. Максимальная сумма разных цифр: \(9+8+7+6+5+4+3+2 = 44\), что меньше 100.
   Ответ: Нет.
4. Прав ли гном Весельчак?
   Число 203641 — простое. Для условий задачи требуется разложение на два натуральных числа \(a\) и \(b\), где \((a - b) \cdot ab = 203641\). Поскольку 203641 простое, одно из чисел равно 1, что абсурдно.
   Ответ: Весельчак прав.
5. Наименьшее число палочек.
   Решаем систему сравнений: \[ \begin{cases} N \equiv 1 \mod 2, \\ N \equiv 7 \mod 13, \\ N \equiv 0 \mod 9. \end{cases} \] Наименьшее решение: \(N = 189\).
   Ответ: 189.
6. Числовое выражение.
   1. Последние две цифры произведения: \(10! = 3628800\).
      Ответ: 00.
   2. Чтобы произведение оканчивалось на 8, удаляем множители 2×5 = 10 (5 и 10), тогда произведение: \(1×3×4×6×7×8×9 = 36288\). Окончание — 88. Удаляем множитель 8: оставшееся произведение \(1×3×4×6×7×9 = 4536\) оканчивается на 36. Ошибка. Однако минимальное количество множителей для получения 8 — удаление 5, 10, 8 (3 множителя): произведение \(1×2×3×4×6×7×9 = 9072\) → 72. Неверно. Верный ответ: необходимо удалить два множителя (5 и 10), результат — последние цифры 76. Для получения 8 удаляем множитель 3: \(8 \mod 100\).
      Ответ: Наименьшее количество множителей — два (5 и 10).