Курчатовская школа из 5 в 6 класс 2014 год

Курчатовская олимпиада, 6 класс, 24 апреля 2014 года

1. В семье Колмогоровых папа старше мамы на 10%, но младше дедушки на 20%. На сколько процентов мама младше дедушки?
2. Словом «КОМПЬЮТЕР» зашифровано некоторое число, причём разным буквам соответствуют разные цифры. Известно, что дробь \[ \frac{1189}{\overline{\text{К}\,\text{О}\,\text{М}\,\text{П}\,\text{Ь}\,\text{Ю}\,\text{Т}\,\text{Е}\,\text{Р}}} \] правильная. Найти остаток от деления числа «КОМПЬЮТЕР» на 9.
3. Чтобы испечь 100 блинов, маме требуется 30 минут, а бабушке — 40 минут. Федя готов съесть 100 блинов за час. Мама с бабушкой пекут блины без остановки, а Федя непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно 100 блинов?
4. Три четверти класса любят стихи Пушкина. Две трети класса любят стихи Лермонтова. И нет ни одного человека в этом классе, который не любит стихов ни того, ни другого. Какая часть класса любит стихи обоих поэтов?
5. В записи натурального числа использованы только 10 единиц, 10 двоек и 10 нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?
6. Катя задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, на 6 и на 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найти:
   1. все полученные остатки;
   2. остаток от деления задуманного числа на 18.

Решения задач

1. В семье Колмогоровых папа старше мамы на 10%, но младше дедушки на 20%. На сколько процентов мама младше дедушки?
   Решение: Пусть возраст мамы равен $m$ лет. Тогда возраст папы составляет $1,1m$ лет, а возраст дедушки равен $\frac{1,1m}{0,8} = 1,375m$ лет. Найдем процентное отношение возраста мамы к возрасту дедушки:
   $\frac{m}{1,375m} = \frac{8}{11} \approx 72,73\%$.
   Разница составляет $100\ 72,73% \approx 27,27\%$.
   Ответ: Мама младше дедушки на $27\frac{7}{9}\%$ (или $\frac{250}{9}\%$).
   
   
2. Словом «КОМПЬЮТЕР» зашифровано некоторое число, причём разным буквам соответствуют разные цифры. Известно, что дробь \[ \frac{1189}{\overline{\text{К}\,\text{О}\,\text{М}\,\text{П}\,\text{Ь}\,\text{Ю}\,\text{Т}\,\text{Е}\,\text{Р}}} \] правильная. Найти остаток от деления числа «КОМПЬЮТЕР» на 9.
   Решение: Числитель 1189 имеет сумму цифр $1+1+8+9=19$, остаток от деления на 9 равен 1. Так как дробь правильная и несократимая (иначе числитель и знаменатель должны делиться на общий делитель), то знаменатель не может делиться на НОД(1189, число КОМПЬЮТЕР). Так как 1189 простое (1189 делится на 29, 29*41=1189), однако сумма цифр знаменателя совпадает с остатком знаменателя при делении на 9, поэтому остаток числа КОМПЬЮТЕР при делении на 9 равен остатку числителя, то есть 1.
   Ответ: 1.
   
   
3. Чтобы испечь 100 блинов, маме требуется 30 минут, а бабушке — 40 минут. Федя готов съесть 100 блинов за час. Мама с бабушкой пекут блины без остановки, а Федя непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно 100 блинов?
   Решение: Совместная скорость выпечки блинов мамой и бабушкой:
   $\frac{100}{30} + \frac{100}{40} = \frac{10}{3} + \frac{5}{2} = \frac{35}{6}$ блинов в минуту.
   Скорость поедания Феди: $\frac{100}{60} = \frac{5}{3}$ блина в минуту.
   Чистая скорость накопления блинов: $\frac{35}{6} - \frac{5}{3} = \frac{25}{6}$ блинов в минуту.
   Время для накопления 100 блинов: $t = \frac{100}{\frac{25}{6}} = 24$ минуты.
   Ответ: 24 минуты.
   
   
4. Три четверти класса любят стихи Пушкина. Две трети класса любят стихи Лермонтова. И нет ни одного человека в этом классе, который не любит стихов ни того, ни другого. Какая часть класса любит стихи обоих поэтов?
   Решение: По формуле включения-исключения:
   $\frac{3}{4} + \frac{2}{3} - 1 = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} - \frac{12}{12} = \frac{5}{12}$.
   Ответ: $\frac{5}{12}$ класса.
   
   
5. В записи натурального числа использованы только 10 единиц, 10 двоек и 10 нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?
   Решение: Сумма цифр числа равна $10 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 10 \cdot 0 = 30$. Поскольку 30 делится на 3, но не на 9, число не может быть точным квадратом (квадраты чисел делятся на квадраты простых множителей в четной степени).
   Ответ: Нет.
   
   
6. Катя задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, на 6 и на 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найти:
   1. все полученные остатки;
      Решение: Пусть остатки при делении на 3, 6, 9 — $r_3$, $r_6$, $r_9$. Максимальные значения остатков:
      $r_3 \le 2$, $r_6 \le 5$, $r_9 \le 8$.
      Максимальная сумма: $2 + 5 + 8 = 15$, что соответствует $r_3 = 2$, $r_6 = 5$, $r_9 = 8$. Проверка: число $2 \mod6$ должно соответствовать остатку 2 при делении на 3. Число $5 \mod6$ действительно дает остаток 2 при делении на 3, а число $8 \mod9$ также дает остаток 2 при делении на 3.
      Ответ: 2, 5, 8.
      
      
   2. остаток от деления задуманного числа на 18.
      Решение: Найдем число, отвечающее условиям:
      $n \equiv 8 \mod9$ и $n \equiv5 \mod6$.
      Пусть $n = 9k + 8$. Тогда $9k + 8 \equiv5 \mod6$, откуда $3k + 2 \equiv5 \mod6$, тогда $3k \equiv3 \mod6$, следовательно, $k \equiv1 \mod2$. Наименьшее $k = 1$, тогда $n = 17$. Остаток $17 \mod18 = 17$.
      Ответ: 17.