Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2024 год

2024 Курчатовская олимпиада. Пробный экзамен в 5 класс ФМО Курчатовской школы

1. Разрежьте угол $8\times8$ на уголки из трёх клеток (см. рис.)
   
   
   
   
2. В дневнике у Вовочки уже записано 200 замечаний, а у Машеньки — 112. Через сколько недель они сравняются по числу замечаний, если Машенька получает на 22 замечания в неделю больше, чем Вовочка?
   
   
3. Три землекопа за 2 ч вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 ч?
   
   
4. Какая цифра в последовательности \[ 1,2,3,4,1,2,3,4,\dots \] стоит на 2023-м месте?
   
   
5. Если положить на весы три учебника и восемь тетрадей, весы покажут 581 г. А если положить восемь учебников и три тетради, то весы покажут 1 кг 80 г. Сколько покажут весы, если положить на них два учебника и две тетради?
   
   
6. Когда я добираюсь до школы, я половину пути иду пешком, а вторую половину — еду на автобусе, который в 6 раз быстрее моего пешего хода. На дорогу я трачу 42 минуты. Завтра я планирую пройти весь путь пешком, сколько времени у меня на это уйдёт?
   
   
7. У Коли было 5000 рублей, он решил купить разные шоколадные фигурки. Каждая фигурка стоила 330 руб. Для упаковки придётся покупать пакеты по 27 руб. каждый, но в пакет помещается не более трёх фигурок. Какое наибольшее число фигурок может купить Коля, и сколько денег у него останется после покупки?

Решения задач

1. Разрежьте угол $8\times8$ на уголки из трёх клеток (см. рис.)
   
   Решение: Уголок из трёх клеток имеет форму "L". Размер первоначального угла определим как правый угол из 8 клеток по вертикали и горизонтали. Рассмотрев возможности повторяющихся паттернов, можно уложить уголки последовательно, формируя крупные блоки. Конкретная схема требует графического представления (демонстрируется на рисунке).
   Ответ: см. иллюстрацию с разбиением угла на уголки из трёх клеток.
   
   
2. В дневнике у Вовочки уже записано 200 замечаний, а у Машеньки — 112. Через сколько недель они сравняются по числу замечаний, если Машенька получает на 22 замечания в неделю больше, чем Вовочка?
   Решение: Пусть текущее количество замечаний Вовочки: 200 + x замечаний в неделю. Машенька: 112 + (x + 22) замечаний в неделю. Уравнение равенства:
   $200 + x \cdot t = 112 + (x + 22) \cdot t$
   Упрощаем:
   $200 - 112 = 22t \Rightarrow t = \frac{88}{22} = 4$.
   Ответ: через 4 недели.
   
   
3. Три землекопа за 2 ч вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 ч?
   Решение: Производительность одного землекопа:
   $\frac{3 \text{ ямы}}{3 \text{ зем.} \cdot 2 \text{ ч}} = 0,5$ ямы в час на землекопа.
   Для 6 землекопов за 5 часов:
   $6 \cdot 5 \cdot 0,5 = 15$ ям.
   Ответ: 15.
   
   
4. Какая цифра в последовательности \[ 1,2,3,4,1,2,3,4,\dots \] стоит на 2023-м месте?
   Решение: Длина цикла — 4. Определим остаток от деления 2023 на 4:
   $2023 \div 4 = 505$ целых и остаток 3.
   Третий элемент цикла — 3.
   Ответ: 3.
   
   
5. Если положить на весы три учебника и восемь тетрадей, весы покажут 581 г. А если положить восемь учебников и три тетради, то весы покажут 1 кг 80 г. Сколько покажут весы, если положить на них два учебника и две тетради?
   Решение: Обозначим учебник — $у$ г, тетрадь — $т$ г. Система уравнений:
   $\begin{cases} 3у + 8т = 581 \\ 8у + 3т = 1080 \end{cases}$
   Сложв уравнения:
   $11у + 11т = 1661 \Rightarrow у + т = 151$.
   Для двух учебников и двух тетрадей:
   $2у + 2т = 2 \cdot 151 = 302$ г.
   Ответ: 302 г.
   
   
6. Когда я добираюсь до школы, я половину пути иду пешком, а вторую половину — еду на автобусе, который в 6 раз быстрее моего пешего хода. На дорогу я трачу 42 минуты. Завтра я планирую пройти весь путь пешком, сколько времени у меня на это уйдёт?
   Решение: Пусть скорость пешком — $v$, расстояние — $S$.
   Времени на первую половину: $\frac{S/2}{v} = \frac{S}{2v}$, на вторую половину: $\frac{S/2}{6v} = \frac{S}{12v}$.
   Общее время:
   $\frac{S}{2v} + \frac{S}{12v} = \frac{7S}{12v} = 42$ мин \Rightarrow $\frac{S}{v} = 72$ мин.
   Весь путь пешком займет $\frac{S}{v} = 72$ мин.
   Ответ: 72 минуты.
   
   
7. У Коли было 5000 рублей, он решил купить разные шоколадные фигурки. Каждая фигурка стоила 330 руб. Для упаковки придётся покупать пакеты по 27 руб. каждый, но в пакет помещается не более трёх фигурок. Какое наибольшее число фигурок может купить Коля, и сколько денег у него останется после покупки?
   Решение: Максимальное количество фигурок при бюджете:
   Пусть $N$ фигурок. Количество пакетов: $\lceil \frac{N}{3} \rceil$.
   Общая стоимость: $330N + 27 \cdot \lceil \frac{N}{3} \rceil \leq 5000$.
   Проверка для $N=14$:
   $14 \cdot 330 = 4620$ руб.,
   5 пакетов: $5 \cdot 27 = 135$ руб.,
   Итого: $4620 + 135 = 4755$ руб., остаток $5000 - 4755 = 245$ руб.
   При $N=15$ требуется 5 пакетов и суммарно $15 \cdot 330 + 5 \cdot 27 = 5085$ руб. — превышен бюджет.
   Ответ: 14 фигурок, остаток 245 рублей.