Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2024 год

Курчатовская школа

2024

1. Мама сварила клубничное варенье. Оказалось, что масса таза с вареньем 3 кг 100 г, а масса таза — 400 г. Мама собирается разлить варенье в банки, каждая из которых вмещает не более 500 г. Какое наименьшее количество банок ей нужно взять? Объясните решение.
   
   
2. Ровно в два часа дня турист отправился на станцию, расположенную на расстоянии 1 км 200 м. Первый поезд отходит в 2 ч 8 мин, а второй — в 2 ч 15 мин. Он знает, что за 10 секунд делает 25 шагов и пять его шагов составляют 2 м. К какому поезду турист успеет прийти? Запишите решение с объяснением.
   
   
3. В школе праздник, дети выпускают в небо жёлтые, красные, белые и голубые воздушные шарики, всего 144 шарика. Красных шариков на четыре больше, чем голубых, голубых — на четыре больше, чем жёлтых, а белых — на четыре больше, чем жёлтых. Сколько среди них белых шариков? Запишите решение с объяснением.
   
   
4. В игре «Юный конструктор» имеются шесть деталей в виде одинаковых прямоугольников со сторонами 5 см и 1 см. Миша решил сложить из них прямоугольник большего размера, не накладывая один на другой.
   
   
   1. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз все шесть прямоугольников? Начертите их.
   2. Какой из полученных прямоугольников имеет наибольший периметр?
   3. Какой из полученных прямоугольников имеет наибольшую площадь?
   4. Можно ли из данных прямоугольников сложить квадрат? Обоснуйте ответ.
   
   
   
5. У Мити 90 орехов. Он решил раздать их тринадцати белкам так, чтобы никакие две не получили орехов поровну и каждой белке досталось не менее одного ореха. Сможет ли он это сделать? Запишите объяснение.
   
   
6. Перемножили 18 натуральных чисел и получили 18. Чему равна сумма этих восемнадцати чисел? Рассмотрите все варианты. Запишите объяснение.
   
   
7. В слове «ДЮЙМОВОЧКА» одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Известно, что среди цифр нет нуля, и произведение цифр делится на 49. Найдите сумму цифр. Запишите объяснение.
   
   

Решения задач

1. Мама сварила клубничное варенье. Оказалось, что масса таза с вареньем 3 кг 100 г, а масса таза — 400 г. Мама собирается разлить варенье в банки, каждая из которых вмещает не более 500 г. Какое наименьшее количество банок ей нужно взять?
   Решение: Масса варенья равна массе таза с вареньем минус масса таза:
   $3100\ \text{г} - 400\ \text{г} = 2700\ \text{г}$.
   Для определения минимального количества банок разделим массу варенья на вместимость одной банки:
   $\frac{2700}{500} = 5,4$.
   Поскольку банки должны быть целыми, потребуется 6 банок.
   Ответ: 6.
   
   
2. Ровно в два часа дня турист отправился на станцию, расположенную на расстоянии 1 км 200 м. Первый поезд отходит в 2 ч 8 мин, а второй — в 2 ч 15 мин. Он знает, что за 10 секунд делает 25 шагов и пять его шагов составляют 2 м. К какому поезду турист успеет прийти?
   Решение:
   Скорость туриста:
   25 шагов за 10 секунд $\Rightarrow$ 2,5 шага/сек.
   5 шагов = 2 м $\Rightarrow$ 1 шаг = 0,4 м.
   Скорость: $2,5 \cdot 0,4 = 1\ \text{м/с}$.
   Время на преодоление 1200 м:
   $\frac{1200}{1} = 1200\ \text{сек} = 20\ \text{мин}$.
   Турист прибудет в 14:00 + 0:20 = 14:20.
   Поскольку оба поезда отходят раньше (14:08 и 14:15), турист не успеет к ним.
   Ответ: Ни к одному.
   
   
3. В школе праздник, дети выпускают в небо жёлтые, красные, белые и голубые воздушные шарики, всего 144 шарика. Красных шариков на четыре больше, чем голубых, голубых — на четыре больше, чем жёлтых, а белых — на четыре больше, чем жёлтых. Сколько среди них белых шариков?
   Решение: Пусть жёлтых шариков — $x$. Тогда:
   Голубых: $x + 4$,
   Красных: $(x + 4) + 4 = x + 8$,
   Белых: $x + 4$.
   Сумма:
   $x + (x + 4) + (x + 8) + (x + 4) = 144$,
   $4x + 16 = 144 \Rightarrow 4x = 128 \Rightarrow x = 32$.
   Белых шариков: $32 + 4 = 36$.
   Ответ: 36.
   
   
4. В игре «Юный конструктор» имеются шесть деталей в виде одинаковых прямоугольников со сторонами 5 см и 1 см. Миша решил сложить из них прямоугольник большего размера, не накладывая один на другой.
   1. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз все шесть прямоугольников?
      Решение: Возможные размеры:
      1) $1 \times 30$ (в ряд),
      2) $2 \times 15$ (два ряда по три),
      3) $3 \times 10$ (три ряда по два),
      4) $5 \times 6$ (пять рядов по одному, повёрнутые).
      Ответ: 4 прямоугольника.
      
      
   2. Какой из полученных прямоугольников имеет наибольший периметр?
      Решение: Периметры:
      1) $2(1 + 30) = 62$ см,
      2) $2(2 + 15) = 34$ см,
      3) $2(3 + 10) = 26$ см,
      4) $2(5 + 6) = 22$ см.
      Ответ: $1 \times 30$ см.
      
      
   3. Какой из полученных прямоугольников имеет наибольшую площадь?
      Решение: Площадь всех прямоугольников одинакова: $5 \cdot 1 \cdot 6 = 30$ см².
      Ответ: Все равны.
      
      
   4. Можно ли из данных прямоугольников сложить квадрат?
      Решение: Площадь 30 см² не является квадратом целого числа.
      Ответ: Нет.
   
   
   
5. У Мити 90 орехов. Он решил раздать их тринадцати белкам так, чтобы никакие две не получили орехов поровну и каждой белке досталось не менее одного ореха. Сможет ли он это сделать?
   Решение: Минимальная сумма при разных количествах:
   $1 + 2 + \dots + 13 = \frac{13 \cdot 14}{2} = 91$.
   Поскольку 90 < 91, распределить невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
6. Перемножили 18 натуральных чисел и получили 18. Чему равна сумма этих восемнадцати чисел?
   Решение: Разложение 18: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1^{15}$.
   Сумма: $2 + 3 + 3 + 1 \cdot 15 = 2 + 3 + 3 + 15 = 23$.
   Другие варианты невозможны из-за увеличения суммы.
   Ответ: 23.
   
   
7. В слове «ДЮЙМОВОЧКА» одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Известно, что среди цифр нет нуля, и произведение цифр делится на 49. Найдите сумму цифр.
   Решение: Для делимости на 49 необходимо две цифры 7. Буква "О" повторяется дважды, остальные буквы уникальны. Сумма уникальных цифр (1-9 без 7) + 7 + 7:
   Сумма от 1 до 9: $45$, сумма без 7: $45 - 7 = 38$.
   Общая сумма: $38 + 7 + 7 = 52$.
   Ответ: 52.