Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2023 год

Курчатовская школа

2023

22.04.2023

1. Дама с собачкой весит 62 кг, а эта же дама с тремя собачками весит 74 кг. Сколько весит дама без собачки? Запишите решение с объяснением.
   
   
2. Винни-Пух с Кроликом расстались на дороге. Винни-Пух пошёл к дому со скоростью 2 м/с, а Кролик остался на месте. Через 3 минуты он бросился бежать за Винни-Пухом и догнал его через 1 минуту 12 секунд. С какой скоростью бежал Кролик? Запишите решение с объяснением.
   
   
3. Сейчас возраст папы, мамы и всех их детей в сумме составляет 116 лет. Через 12 лет он будет в сумме равен 200 годам. Сколько детей в этой семье? Запишите свои рассуждения и объясните решение.
   
   
4. Вася начертил прямоугольник, у которого длина и ширина составляют целое число сантиметров. А Петя увеличил его длину в 14 раз и уменьшил ширину в 2 раза. У Пети получился прямоугольник с площадью 616 см².
   
   
   1. Какова площадь Васиного прямоугольника?
   2. Каким может быть периметр Васиного прямоугольника? Рассмотрите все возможные случаи.
   
   
   
5. В первом аквариуме живут 19 рыбок, а во втором — 15. После того как из первого аквариума пересадили во второй несколько рыбок, в первом аквариуме осталось на 12 рыбок меньше, чем стало во втором. Сколько рыбок из первого аквариума пересадили во второй? Запишите свои рассуждения и объясните решение.
   
   
6. Мама Оля и её дочка Даша очень любят читать. Они пришли в книжный магазин, где Даша выбрала 15 понравившихся книг. Но мама Оля сказала, что денег хватит только на 14 книг и предложила дочке выбрать из этих пятнадцати книг любые 14. Сколькими различными способами Даша может это сделать? Запишите свои рассуждения и ответ.
   
   
7. Сумма пятидесяти различных натуральных чисел равна 1280. Может ли среди этих чисел быть число 60?
   
   

Решения задач

1. Дама с собачкой весит 62 кг, а с тремя собачками — 74 кг. Сколько весит дама без собачки?
   Решение: Разница в весе между двумя ситуациями составляет $74 - 62 = 12$ кг, что соответствует весу двух собачек. Значит, одна собачка весит $\frac{12}{2} = 6$ кг. Тогда вес дамы без собачки: $62 - 6 = 56$ кг.
   Ответ: 56 кг.
   
   
2. Винни-Пух шёл со скоростью 2 м/с. Через 3 минуты (180 секунд) Кролик начал бежать за ним и догнал через 1 минуту 12 секунд (72 секунды). С какой скоростью бежал Кролик?
   Решение: За 3 минуты Винни-Пух прошёл $2 \cdot 180 = 360$ м. Пусть скорость Кролика $x$ м/с. За 72 секунды Винни-Пух прошёл ещё $2 \cdot 72 = 144$ м. Кролик должен преодолеть расстояние $360 + 144 = 504$ м за 72 секунды:
   $x \cdot 72 = 504 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{504}{72} = 7$ м/с.
   Ответ: 7 м/с.
   
   
3. Суммарный возраст семьи сейчас 116 лет, через 12 лет — 200 лет. Сколько детей в семье?
   Решение: Разница в суммарном возрасте: $200 - 116 = 84$ года. Каждый член семьи станет старше на 12 лет, поэтому количество членов семьи: $\frac{84}{12} = 7$. Учитывая папу и маму, количество детей: $7 - 2 = 5$.
   Ответ: 5 детей.
   
   
4. Площадь Васиного прямоугольника и возможные периметры:
   1. Исходные размеры: длина $a$, ширина $b$. После изменений: длина $14a$, ширина $\frac{b}{2}$. Площадь у Пети:
      $14a \cdot \frac{b}{2} = 7ab = 616 \quad \Rightarrow \quad ab = 88$ см².
      Ответ: 88 см².
   2. Возможные пары $(a, b)$ — делители 88: (1,88), (2,44), (4,22), (8,11). Учитывая, что $\frac{b}{2}$ должно быть целым, $b$ — чётное. Подходят пары (2,44) и (4,22). Периметры:
      $2 \cdot (2 + 44) = 92$ см;
      $2 \cdot (4 + 22) = 52$ см.
      Ответ: 92 см или 52 см.
   
   
   
5. В первом аквариуме было 19 рыбок, во втором — 15. После пересадки $x$ рыбок:
   $19 - x + 12 = 15 + x \quad \Rightarrow \quad 31 - x = 15 + x \quad \Rightarrow \quad 2x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 8$.
   Ответ: 8 рыбок.
   
   
6. Выбор 14 книг из 15:
   Количество способов: $\binom{15}{14} = 15$.
   Ответ: 15 способов.
   
   
7. Может ли среди 50 различных натуральных чисел с суммой 1280 быть число 60?
   Решение: Если число 60 есть, сумма остальных 49 чисел: $1280 - 60 = 1220$. Минимальная сумма 49 различных натуральных чисел: $1 + 2 + \dots + 49 = \frac{49 \cdot 50}{2} = 1225$. Так как $1225 > 1220$, такое невозможно.
   Ответ: Нет.