Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2023 год

Курчатовская школа

2023

17.02.2023

1. В кафе порция бульона с пирожком стоит 143 рубля, а половина порции бульона с пирожком стоит 105 рублей. Сколько стоит пирожок?
   
   
2. На поле паслось большое стадо коров. Пастушок Стёпа подсчитал число ног, рогов и хвостов у всех коров вместе. Оказалось, что это число равно восьмому по величине четырёхзначному числу. Сколько коров было в этом стаде?
   
   
3. Длина отрезка 3012 см, и он разделён на 3 неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 2023 см. Найдите длину среднего отрезка.
   
   
4. Натуральное число зашифровано буквами, причём одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а разные — разными. Получилось слово СТАРАТЕЛЬНЫЙ. Известно, что сумма всех цифр этого числа равна 62. Найдите значение выражения: \[ 2023 \cdot T + 2023 \cdot A. \]
   
   
5. Дима младше папы в 4 раза, а папа старше мамы на 3 года. Через 5 лет им всем вместе будет 120 лет. Сколько лет Диме сейчас?
   
   
6. 15 курочек клюют зёрна. Каждая из кур склёвывала либо 5, либо 7, либо 9 зёрен. Могли ли они все вместе склевать 120 зёрен?
   
   
7. От прямоугольника отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От оставшейся части снова отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне получившегося прямоугольника. После этого остался квадрат со стороной 5 см. Какие размеры мог иметь первоначальный прямоугольник?
   
   

Решения задач

1. В кафе порция бульона с пирожком стоит 143 рубля, а половина порции бульона с пирожком стоит 105 рублей. Сколько стоит пирожок?
   Решение: Пусть полная порция бульона стоит \( B \) рублей, а пирожок — \( P \) рублей. Тогда: \[ B + P = 143 \] Половина порции бульона стоит \( \frac{B}{2} \), поэтому: \[ \frac{B}{2} + P = 105 \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ \left(B + P\right) - \left(\frac{B}{2} + P\right) = 143 - 105 \quad \Rightarrow \quad \frac{B}{2} = 38 \quad \Rightarrow \quad B = 76 \] Тогда пирожок: \[ P = 143 - 76 = 67 \] Ответ: 67 рублей.
   
   
2. На поле паслось большое стадо коров. Пастушок Стёпа подсчитал число ног, рогов и хвостов у всех коров вместе. Оказалось, что это число равно восьмому по величине четырёхзначному числу. Сколько коров было в этом стаде?
   Решение: У каждой коровы 4 ноги, 2 рога и 1 хвост. Суммарно: \[ 4 + 2 + 1 = 7 \text{ (частей на одну корову)} \] Восьмое по величине четырёхзначное число — 9992. Тогда количество коров: \[ \frac{9992}{7} = 1427 \] Ответ: 1427 коров.
   
   
3. Длина отрезка 3012 см, и он разделён на 3 неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 2023 см. Найдите длину среднего отрезка.
   Решение: Пусть длины отрезков \( A \), \( B \), \( C \). Тогда: \[ A + B + C = 3012 \] Расстояние между серединами крайних отрезков: \[ \frac{A}{2} + B + \frac{C}{2} = 2023 \] Подставим \( A + C = 3012 - B \): \[ \frac{3012 - B}{2} + B = 2023 \quad \Rightarrow \quad 3012 - B + 2B = 4046 \quad \Rightarrow \quad B = 1034 \] Ответ: 1034 см.
   
   
4. Натуральное число зашифровано буквами, причём одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а разные — разными. Получилось слово СТАРАТЕЛЬНЫЙ. Известно, что сумма всех цифр этого числа равна 62. Найдите значение выражения: \[ 2023 \cdot T + 2023 \cdot A. \] Решение: Сумма цифр: \[ 2A + 2T + С + Р + Е + Л + Ь + Н + Ы + Й = 62 \] Максимальная сумма уникальных цифр (без \( A \) и \( T \)): \( 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 44 \). Тогда: \[ 2(A + T) + 44 = 62 \quad \Rightarrow \quad A + T = 9 \] Подходящие значения: \( A = 9 \), \( T = 8 \). Тогда: \[ 2023 \cdot (9 + 8) = 2023 \cdot 17 = 34391 \] Ответ: 34391.
   
   
5. Дима младше папы в 4 раза, а папа старше мамы на 3 года. Через 5 лет им всем вместе будет 120 лет. Сколько лет Диме сейчас?
   Решение: Пусть возраст Димы — \( D \), тогда папе \( 4D \), маме \( 4D - 3 \). Через 5 лет: \[ (D + 5) + (4D + 5) + (4D - 3 + 5) = 120 \quad \Rightarrow \quad 9D + 12 = 120 \quad \Rightarrow \quad D = 12 \] Ответ: 12 лет.
   
   
6. 15 курочек клюют зёрна. Каждая из кур склёвывала либо 5, либо 7, либо 9 зёрен. Могли ли они все вместе склевать 120 зёрен?
   Решение: Пусть \( x \) кур склевали по 5 зёрен, \( y \) — по 7, \( z \) — по 9. Тогда: \[ \begin{cases} x + y + z = 15 \\ 5x + 7y + 9z = 120 \end{cases} \] Вычтем первое уравнение, умноженное на 5: \[ 2y + 4z = 45 \quad \Rightarrow \quad y + 2z = 22,5 \] Так как \( y \) и \( z \) целые, решения нет.
   Ответ: Нет.
   
   
7. От прямоугольника отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От оставшейся части снова отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне получившегося прямоугольника. После этого остался квадрат со стороной 5 см. Какие размеры мог иметь первоначальный прямоугольник?
   Решение: Пусть исходный прямоугольник \( a \times b \) (\( a < b \)). После первого отрезания остаётся \( (b - a) \times a \). После второго отрезания: \[ b - a = 5 + a \quad \Rightarrow \quad b = 2a + 5 \] Оставшийся квадрат: \[ a - 5 = 5 \quad \Rightarrow \quad a = 10 \quad \Rightarrow \quad b = 25 \] Проверка: \( 10 \times 25 \) → \( 15 \times 10 \) → \( 5 \times 10 \) → \( 5 \times 5 \).
   Ответ: 10 см и 25 см.