Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2022 год

Курчатовская школа

2022

29.01.2022

1. У прямоугольника с периметром 40 отрезали прямоугольник с периметром 10, как на рисунке. Найдите периметр оставшейся части.
   
   
   
2. Прямоугольник с периметром 28 разрезан на два прямоугольника с периметрами 18 и 22. Найдите стороны исходного прямоугольника.
   
   
3. Есть 10 мешков с красными и синими шариками. В 7 мешках есть красные шарики, в 8 — синие. В скольких мешках есть шарики двух цветов?
   
   
4. У Васи есть прямоугольная коробка конфет. В ней 6 рядов по 7 конфет в каждом ряду. Сначала Вася съел горизонтальный ряд, а потом вертикальный ряд конфет. Сколько всего конфет он съел? Сколько конфет осталось?
   
   
5. 
   
   
   1. Сколько натуральных чисел от 1 до 20?
   2. Сколько натуральных чисел от 20 до 101?
   3. Сколько натуральных нечётных чисел от 21 до 101?
   4. Сколько натуральных чётных чисел между 21 и 101?
   
   
   
6. Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков?
   
   
7. С первого этажа на третий всего 30 ступенек. Сколько ступенек надо пройти, чтобы попасть с первого этажа на шестой? А на двенадцатый?
   
   
8. Натуральное число зашифровано буквами, причём одинаковые цифры — одинаковыми буквами, а разные цифры — разными буквами. Получилось слово «КУРЧАТОВСКАЯ». Известно, что сумма всех цифр этого числа равна 62. Найдите значение выражения $2020 \cdot K + 2020 \cdot A$.
   
   
9. Лифт поднимается с первого этажа на четвёртый за 16 секунд. За какое время он поднимется с первого этажа на шестнадцатый?
   
   
10. 
    
    
    1. Червяк длиной 10 см ползёт со скоростью 50 см/мин. За какое время он проползёт мимо столба?
    2. Червяк длиной 10 см ползёт со скоростью 50 см/мин по мосту длиной 10 метров. За какое время он проползёт по мосту?
    3. Червяк длиной 1 м ползёт по мосту длиной 1 м со скоростью 50 см/мин. За какое время он доползёт до конца?
    
    
    

Решения задач

1. У прямоугольника с периметром 40 отрезали прямоугольник с периметром 10. Найдите периметр оставшейся части.
   Решение: При вырезании внутреннего прямоугольника периметр оставшейся фигуры равен исходному периметру плюс периметр вырезанного минус удвоенную сумму общих сторон. Сумма сторон вырезанного прямоугольника равна $\frac{10}{2} = 5$. Тогда новый периметр:
   $40 + 10 - 2 \cdot 5 = 40$.
   Ответ: 40.
2. Прямоугольник с периметром 28 разрезан на два прямоугольника с периметрами 18 и 22. Найдите стороны исходного прямоугольника.
   Решение: Пусть стороны исходного прямоугольника $a$ и $b$, тогда $2(a + b) = 28 \Rightarrow a + b = 14$. При разрезании вдоль стороны $a$ получим два прямоугольника с периметрами:
   $2(a + c) = 18$ и $2(a + (b - c)) = 22$.
   Решая систему: \[ \begin{cases} a + c = 9 \\ a + b - c = 11 \\ a + b = 14 \end{cases} \] Получаем $a = 6$, $b = 8$.
   Ответ: 6 и 8.
3. Есть 10 мешков с красными и синими шариками. В 7 мешках есть красные шарики, в 8 — синие. В скольких мешках есть шарики двух цветов?
   Решение: По принципу включения-исключения:
   Количество мешков с обоими цветами $= 7 + 8 - 10 = 5$.
   Ответ: 5.
4. У Васи есть прямоугольная коробка конфет. В ней 6 рядов по 7 конфет в каждом ряду. Сначала Вася съел горизонтальный ряд, а потом вертикальный ряд конфет. Сколько всего конфет он съел? Сколько конфет осталось?
   Решение:
   Съел горизонтальный ряд: $7$ конфет.
   Вертикальный ряд после этого содержит $6 - 1 = 5$ конфет.
   Всего съедено: $7 + 5 = 12$ конфет.
   Осталось: $6 \cdot 7 - 12 = 30$ конфет.
   Ответ: 12 и 30.
5. 1. Сколько натуральных чисел от 1 до 20?
      Ответ: 20.
   2. Сколько натуральных чисел от 20 до 101?
      Ответ: $101 - 20 + 1 = 82$.
   3. Сколько натуральных нечётных чисел от 21 до 101?
      Ответ: $\frac{101 - 21}{2} + 1 = 41$.
   4. Сколько натуральных чётных чисел между 21 и 101?
      Ответ: $\frac{100 - 22}{2} + 1 = 40$.
6. Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков?
   Решение: Количество чурбачков $= 10 + 1 = 11$.
   Ответ: 11.
7. С первого этажа на третий всего 30 ступенек. Сколько ступенек надо пройти, чтобы попасть с первого этажа на шестой? А на двенадцатый?
   Решение: Между этажами $30 : 2 = 15$ ступенек.
   На шестой этаж: $15 \cdot 5 = 75$ ступенек.
   На двенадцатый этаж: $15 \cdot 11 = 165$ ступенек.
   Ответ: 75 и 165.
8. Натуральное число зашифровано буквами в слове «КУРЧАТОВСКАЯ». Сумма цифр равна 62. Найдите значение выражения $2020 \cdot K + 2020 \cdot A$.
   Решение: Сумма всех цифр $2K + 2A + S_{\text{остальные}} = 62$. Сумма всех уникальных цифр $0-9$ равна $45$, поэтому:
   $K + A + 45 = 62 \Rightarrow K + A = 17$.
   $2020 \cdot (K + A) = 2020 \cdot 17 = 34340$.
   Ответ: 34340.
9. Лифт поднимается с первого этажа на четвёртый за 16 секунд. За какое время он поднимется с первого этажа на шестнадцатый?
   Решение: Время между этажами $\frac{16}{3}$ сек. На 16 этаж: $15 \cdot \frac{16}{3} = 80$ сек.
   Ответ: 80 секунд.
10. 1. Червяк длиной 10 см ползёт со скоростью 50 см/мин. За какое время он проползёт мимо столба?
       Ответ: $\frac{10}{50} \cdot 60 = 12$ сек.
    2. Червяк длиной 10 см ползёт по мосту длиной 10 метров. За какое время он проползёт по мосту?
       Ответ: $\frac{1000 + 10}{50} = 20,2$ мин.
    3. Червяк длиной 1 м ползёт по мосту длиной 1 м. За какое время он доползёт до конца?
       Ответ: $\frac{100}{50} = 2$ мин.