Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2022 год

Курчатовская школа

2022

20.02.2022

1. У Лены есть воздушные шарики: 6 жёлтых, 7 зелёных, 10 синих и 25 красных. Она решила подарить всем своим одноклассникам по 2 шарика, причём в каждом подарке должен быть ровно один красный шарик. Может ли она так подарить все шарики? Запишите решение с объяснением.
   
   
2. В двенадцатиэтажном доме, в котором живёт Витя, в каждом подъезде на каждом этаже расположены по 4 квартиры. На каком этаже находится его квартира с номером 323? Объясните решение.
   
   
3. Сейчас Ане 2 года, а три года назад сумма лет её братьев Васи и Саши составляла 10 лет. Через сколько лет всем детям вместе будет 60 лет? Объясните решение.
   
   
4. Наступил 2022 год. Напишите все годы, которые наступят в ближайшие 150 лет, с такой же суммой цифр, как у 2022. Докажите, что других таких годов нет.
   
   
5. В коробке для игры «Математический конструктор» имеются 8 одинаковых деталей в виде уголков. Каждый уголок состоит из трёх квадратов со стороной 1 см:
   
   
   1. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз все 8 этих деталей? Объясните, почему других вариантов не может быть.
   2. Начертите эти прямоугольники и покажите на них, как использованы детали.
   3. Вычислите периметр и площадь каждого прямоугольника.
   
   
   
6. Знайка всё делает в два раза быстрее Незнайки. Они изготовили бумажные кораблики и самолётики, начав работу одновременно. Сначала Незнайка делал кораблики, а Знайка — самолётики, но в какой-то момент они поменялись и закончили работу одновременно. Оказалось, что всего они изготовили 30 корабликов, а самолётиков поровну. Сколько корабликов сделал Знайка? Объясните решение.
   
   
7. Винни-Пух, Пятачок и Ослик Иа договорились, что в определённые дни февраля каждый из них будет съедать по 3 или 5 ложек мёда, и выполнили это. И только один раз в один из дней только один из друзей забыл съесть мёд, а остальные не забывали. В итоге за эти дни Винни-Пух съел 29 ложек мёда, Пятачок — 24 ложки мёда и Ослик Иа — 23 ложки мёда. Кто же из них забыл съесть мёд в один из дней? Объясните решение.
   
   

Решения задач

1. У Лены есть воздушные шарики: 6 жёлтых, 7 зелёных, 10 синих и 25 красных. Она решила подарить всем своим одноклассникам по 2 шарика, причём в каждом подарке должен быть ровно один красный шарик. Может ли она так подарить все шарики? Запишите решение с объяснением.
   Решение: Всего красных шариков 25. Для каждого подарка требуется один красный шарик, значит максимальное количество подарков — 25. Остальные шарики: 6 + 7 + 10 = 23. Для 25 подарков требуется 25 некрасных шариков, но их всего 23. Не хватает 2 шариков.
   Ответ: Нет, не может.
2. В двенадцатиэтажном доме, в котором живёт Витя, в каждом подъезде на каждом этаже расположены по 4 квартиры. На каком этаже находится его квартира с номером 323? Объясните решение.
   Решение: В одном подъезде $12 \cdot 4 = 48$ квартир. Количество подъездов: $\frac{323}{48} \approx 6,73$, значит квартира находится в 7-м подъезде. Номер квартиры в 7-м подъезде: $323 - 48 \cdot 6 = 35$. Этаж: $\frac{35}{4} = 8,75$. Квартира находится на 9-м этаже.
   Ответ: 9-й этаж.
3. Сейчас Ане 2 года, а три года назад сумма лет её братьев Васи и Саши составляла 10 лет. Через сколько лет всем детям вместе будет 60 лет? Объясните решение.
   Решение: Три года назад сумма возрастов братьев: 10 лет. Сейчас: $10 + 3 \cdot 2 = 16$ лет. Сумма возрастов всех детей сейчас: $16 + 2 = 18$ лет. Требуется: $60 - 18 = 42$ года. Ежегодно сумма возрастов увеличивается на 3 (по 1 году каждому). Время: $\frac{42}{3} = 14$ лет.
   Ответ: Через 14 лет.
4. Наступил 2022 год. Напишите все годы, которые наступят в ближайшие 150 лет, с такой же суммой цифр, как у 2022. Докажите, что других таких годов нет.
   Решение: Сумма цифр 2022 года: $2 + 0 + 2 + 2 = 6$. Годы с суммой цифр 6 в диапазоне 2022–2172:
   2022, 2031, 2040, 2103, 2112, 2121, 2130.
   Ответ: 2022, 2031, 2040, 2103, 2112, 2121, 2130.
5. В коробке для игры «Математический конструктор» имеются 8 одинаковых деталей в виде уголков. Каждый уголок состоит из трёх квадратов со стороной 1 см:
   1. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз все 8 этих деталей? Объясните, почему других вариантов не может быть.
      Решение: Площадь всех деталей: $8 \cdot 3 = 24$ см². Возможные прямоугольники: $3 \times 8$ и $4 \times 6$. Других пар делителей 24 с разными сторонами нет.
      Ответ: 2 прямоугольника.
   2. Начертите эти прямоугольники и покажите на них, как использованы детали.
      Ответ: Прямоугольники $3 \times 8$ и $4 \times 6$. Детали расположены в виде уголков, заполняющих площадь.
   3. Вычислите периметр и площадь каждого прямоугольника.
      Решение:
      - Прямоугольник $3 \times 8$: периметр $2 \cdot (3 + 8) = 22$ см, площадь $24$ см².
      - Прямоугольник $4 \times 6$: периметр $2 \cdot) =) =) = 20$ см, площадь $24$ см².
      Ответ: Периметры 22 см и 20 см, площади по 24 см².
6. Знайка всё делает в два раза быстрее Незнайки. Они изготовили бумажные кораблики и самолётики, начав работу одновременно. Сначала Незнайка делал кораблики, а Знайка — самолётики, но в какой-то момент они поменялись и закончили работу одновременно. Оказалось, что всего они изготовили 30 корабликов, а самолётиков поровну. Сколько корабликов сделал Знайка? Объясните решение.
   Решение: Пусть Незнайка делает кораблики со скоростью $x$ шт./ед. времени, Знайка — $2x$ шт./ед. времени. После смены задач: Знайка делает кораблики, Незнайка — самолётики. Общее время работы одинаково. Пусть до смены прошло $t_1$ времени, после — $t_2$. Уравнения:
   - Кораблики: $x t_1 + 2x t_2 = 30$.
   - Самолётики: $2x t_1 = x t_2$ (поровну). Отсюда $2t_1 = t_2$.
   Подстановка: $x t_1 + 2x \cdot 2t_1 = 5x t_1 = 30 \Rightarrow x t_1 = 6$. Кораблики Знайки: $2x t_2 = 4x t_1 = 24$.
   Ответ: 24 кораблика.
7. Винни-Пух, Пятачок и Ослик Иа договорились, что в определённые дни февраля каждый из них будет съедать по 3 или 5 ложек мёда, и выполнили это. И только один раз в один из дней только один из друзей забыл съесть мёд, а остальные не забывали. В итоге за эти дни Винни-Пух съел 29 ложек мёда, Пятачок — 24 ложки мёда и Ослик Иа — 23 ложки мёда. Кто же из них забыл съесть мёд в один из дней? Объясните решение.
   Решение: Общая сумма без пропуска: $29 + 24 + 23 + k = 76 + k$, где $k$ — пропущенные ложки ($3$ или $5$). Сумма должна быть кратна $9$ (каждый день трое ели мёд). $76 + 5 = 81$ делится на $9$. Пропущен $5$ ложек. Проверка:
   - Винни: $29 + 5 = 34$ (не делится на $3$ или $5$).
   - Пятачок: $24 + 5 = 29$ (возможно: $3 \cdot 9 + 2$).
   - Ослик: $23 + 5 = 28$ (не делится).
   Ответ: Пятачок.