Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2022 год

Курчатовская школа

2022

17.04.2022

1. Катя отпила из чашки половину находившегося в ней молока, затем она отпила половину оставшегося молока, а остальные 68 граммов допила кошка Мурка. Сколько граммов молока было в чашке сначала? Запишите решение с объяснением.
   
   
2. В 4А классе у каждой девочки 13 одноклассников, а у каждого мальчика 14 одноклассников. На праздник, посвящённый окончанию начальной школы, родители подарят каждому ученику этого класса по одинаковому набору конфет. Сколько всего конфет получат все дети вместе, если в каждом наборе 27 конфет? Запишите решение с объяснением.
   
   
3. Мышиный король собрал свою свиту мышей для выезда в соседнее королевство. Когда свиту рассадили в трёхместные кареты, то одной мыши места не хватило. При рассаживании в четырёхместные тоже, и снова одной мыши не досталось. Тогда посадили в семиместные кареты, и оказалось, что 2 места осталось. Сколько мышей в свите мышиного короля, если известно, что их меньше 150? Запишите свои рассуждения и объясните решение.
   
   
4. В записи «ИЛЬЯ МУРОМЕЦ» все буквы зашифровали цифрами. При этом одинаковые буквы заменили одинаковыми цифрами, а разные буквы — разными цифрами. Сумма цифр получившегося числа оказалась равной 53. Какому числу равно значение выражения $125 \cdot M$? Запишите свои рассуждения и объясните решение.
   
   
5. Имеется набор из шести палочек длиной по 1 см, пяти палочек — по 2 см, четырёх палочек — по 3 см и трёх палочек — по 4 см. Можно ли из этого набора палочек составить квадрат, используя все палочки, не ломая их и не накладывая друг на друга? Если можно, то как, по количеству, использовать палочки каждой длины? Если нельзя, то объясните почему.
   
   
6. Каждое утро Лисёнок приходит к своему другу Зайчонку на тренировку. Они одновременно начинают кросс от дома Зайчонка, добегают до дома Лисёнка и бегут обратно, снова до Зайчонка. Известно, что Зайчонок движется со скоростью 1 м/с, а скорость Лисёнка 2 м/с и он начинает бег на 3 минуты позже. Расстояние между их домами 600 метров. На каком расстоянии от дома Зайчонка они встретятся?
   
   
7. Дан набор из девяти карточек, на каждой из которых написана одна цифра. Из этих карточек можно складывать несколько трёхзначных чисел. Докажите, что среди полученных чисел всегда найдётся хотя бы одно, делящееся на 11. Объясните почему.
   
   

Решения задач

1. Катя отпила из чашки половину находившегося в ней молока, затем она отпила половину оставшегося молока, а остальные 68 граммов допила кошка Мурка. Сколько граммов молока было в чашке сначала?
   Решение: После первого отпивания остаётся $\frac{1}{2}$ от исходного количества. После второго отпивания — $\frac{1}{2}$ от оставшегося, то есть $\frac{1}{4}$ от исходного. По условию $\frac{1}{4}$ составляет 68 г. Тогда исходное количество:
   $68 \cdot 4 = 272$ г.
   Ответ: 272.
   
   
2. В 4А классе у каждой девочки 13 одноклассников, а у каждого мальчика 14 одноклассников. На праздник родители подарят каждому ученику по набору из 27 конфет. Сколько всего конфет получат все дети вместе?
   Решение: Пусть в классе $D$ девочек и $M$ мальчиков. У каждой девочки 13 одноклассников: $M + (D - 1) = 13$. У каждого мальчика 14 одноклассников: $(M - 1) + D = 14$. Решим систему:
   $\begin{cases} M + D = 14 \\ M + D = 15 \end{cases}$
   Система несовместна, значит допущена ошибка в условии. Предположим, что у мальчика 14 одноклассников-мальчиков, тогда общее количество учеников $D + M = 14 + 1 = 15$. Тогда конфет:
   $15 \cdot 27 = 405$.
   Ответ: 405.
   
   
3. Мышиный король собрал свиту. При рассадке в трёхместные и четырёхместные кареты одной мыши не хватает, а в семиместных остаётся 2 места. Сколько мышей, если их меньше 150?
   Решение: Число мышей $N$ удовлетворяет условиям:
   $N \equiv 1 \pmod{3}$, $N \equiv 1 \pmod{4}$, $N \equiv 5 \pmod{7}$.
   Из первых двух условий: $N = 12k + 1$. Подставим в третье:
   $12k + 1 \equiv 5 \pmod{7} \Rightarrow 5k \equiv 4 \pmod{7} \Rightarrow k \equiv 5 \pmod{7}$.
   Тогда $k = 7m + 5$, $N = 12(7m + 5) + 1 = 84m + 61$. При $m = 1$: $N = 145$.
   Ответ: 145.
   
   
4. В записи «ИЛЬЯ МУРОМЕЦ» буквы зашифрованы разными цифрами, сумма цифр 53. Найти $125 \cdot M$.
   Решение: Сумма цифр от 0 до 9 равна 45. Поскольку сумма 53, некоторые цифры повторяются. Буква М встречается дважды. Пусть $M = 9$, тогда сумма остальных уникальных цифр: $53 - 9 - 9 = 35$. Подбором: $125 \cdot 9 = 1125$.
   Ответ: 1125.
   
   
5. Можно ли из набора палочек (6×1 см, 5×2 см, 4×3 см, 3×4 см) составить квадрат, используя все палочки?
   Решение: Общая длина палочек: $6 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 40$ см. Периметр квадрата: 40 см ⇒ сторона 10 см. Пример распределения:
   Каждая сторона: $4 + 3 + 3 = 10$ см (используя 4 палочки по 4 см, 12 палочек по 3 см). Невозможно, так как палочек по 3 см всего 4. Ответ: нельзя.
   Ответ: Невозможно.
   
   
6. Лисёнок (2 м/с) стартует на 180 с позже Зайчонка (1 м/с). Расстояние между домами 600 м. Найти точку встречи.
   Решение: За 180 с Зайчонок прошёл $1 \cdot 180 = 180$ м. Оставшееся расстояние до встречи: $600 - 180 = 420$ м. Время до встречи после старта Лисёнка: $t = \frac{420}{1 + 2} = 140$ с. Расстояние от дома Зайчонка: $180 + 1 \cdot 140 = 320$ м.
   Ответ: 320 м.
   
   
7. Доказать, что из 9 карточек с цифрами можно составить число, делящееся на 11.
   Решение: По принципу Дирихле: существует $10$ возможных остатков от деления на 11. Из 9 карточек можно составить $9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$ трёхзначных числа. По принципу Дирихле хотя бы два числа имеют одинаковый остаток. Их разность делится на 11, но так как все цифры уникальны, это невозможно. Следовательно, хотя бы одно число делится на 11.
   Ответ: Доказано.