Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2021 год

Курчатовская школа

2021

1. Коля выехал из села ив 9ч 50 минут. Ровно через час за ним выехал Вася. Во сколько Вася догонит Колю, если Вася проезжает 5 км за 20 минут, а скорость Коли — 10 км/ч?
   
   
2. В семье мама, папа и 5 детей. Сумма их возрастов — 77 лет. Через сколько лет эта сумма увеличится в 3 раза?
   
   
3. На всех гранях куба написали по порядку некоторые натуральные числа. Их сумма — 333. Найдите наибольшее число из записанных.
   
   
4. В классе 30 человек писали диктант. Некоторые допустили ошибки, а некоторые их не сделали. Вася сделал больше всех ошибок — 14 штук. Докажите, что есть хотя бы 3 человека с одинаковым количеством ошибок.
   
   
5. В семье живёт козёл, коза и 5 козлят. Козёл приводит в порядок огород за 2 часа, коза — за 7 часов, а каждый из пяти козлят — за 14 часов. За сколько времени они вместе приведут в порядок огород?
   
   
6. На турнире, проходящем по системе «каждый с каждым играет по одному разу», было сыграно 45 шахматных партий. Сколько было игроков?
   
   
7. Типография печатает книгу. Для нумерации её страниц используется 354 цифры. А сколько в ней страниц?

Решения задач

1. Коля выехал из села в 9ч 50 минут. Ровно через час за ним выехал Вася. Во сколько Вася догонит Колю, если Вася проезжает 5 км за 20 минут, а скорость Коли — 10 км/ч?
   Решение: Скорость Васи: $\frac{5 \text{ км}}{20 \text{ мин}} = 15 \text{ км/ч}$. К моменту выезда Васи Коля проехал $10 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$. Разность скоростей: $15 - 10 = 5 \text{ км/ч}$. Время до встречи: $\frac{10 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$. Встреча произойдет в $10:50 + 2 \text{ ч} = 12:50$.
   Ответ: в 12:50.
   
   
2. В семье мама, папа и 5 детей. Сумма их возрастов — 77 лет. Через сколько лет эта сумма увеличится в 3 раза?
   Решение: Пусть через $x$ лет сумма возрастов станет $3 \cdot 77 = 231$ лет. Каждый из 7 членов семьи станет старше на $x$ лет: $77 + 7x = 231$. Решаем уравнение: $7x = 154 \Rightarrow x = 22$.
   Ответ: через 22 года.
   
   
3. На всех гранях куба написали по порядку некоторые натуральные числа. Их сумма — 333. Найдите наибольшее число из записанных.
   Решение: Пусть числа на гранях: $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$. Их сумма: $6n + 15 = 333 \Rightarrow 6n = 318 \Rightarrow n = 53$. Наибольшее число: $53 + 5 = 58$.
   Ответ: 58.
   
   
4. В классе 30 человек писали диктант. Некоторые допустили ошибки, а некоторые их не сделали. Вася сделал большек. Дк. Дк. Докажите, что есть хотя бы 3 человека с одинаковым количеством ошибок.
   Решение: Возможные количества ошибок: от 0 до 14 (15 вариантов). По принципу Дирихле: $\frac{30}{15} = 2$. Значит, минимум $2 + 1 = 3$ человека имеют одинаковое количество ошибок.
   Ответ: доказано.
   
   
5. В семье живёт козёл, коза и 5 козлят. Козёл приводит в порядок огород за 2 часа, коза — за 7 часов, а каждый из пяти козлят — за 14 часов. За сколько времени они вместе приведут в порядок огород?
   Решение: Производительности: козёл — $\frac{1}{2}$, коза — $\frac{1}{7}$, козлёнок — $\frac{1}{14}$. Общая производительность: $\frac{1}{2} + \frac{1}{7} + 5 \cdot \frac{1}{14} = \frac{7}{14} + \frac{2}{14} + \frac{5}{14} = 1$. Время выполнения: $\frac{1}{1} = 1$ час.
   Ответ: за 1 час.
   
   
6. На турнире, проходящем по системе «каждый с каждым играет по одному разу», было сыграно 45 шахматных партий. Сколько было игроков?
   Решение: Число партий: $\frac{n(n-1)}{2} = 45 \Rightarrow n^2 - n - 90 = 0$. Корни: $n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2} = \frac{1 \pm 19}{2}$. Положительный корень: $n = 10$.
   Ответ: 10 игроков.
   
   
7. Типография печатает книгу. Для нумерации её страниц используется 354 цифры. А сколько в ней страниц?
   Решение: Страницы 1-9: 9 цифр. Страницы 10-99: $90 \cdot 2 = 180$ цифр. Остаток: $354 - 189 = 165$ цифр. Трехзначные страницы: $\frac{165}{3} = 55$. Общее количество: $99 + 55 = 154$.
   Ответ: 154 страницы.