Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2021 год 2 тур

2021 тур 2. Вступительный экзамен в 5 класс Курчатовской школы ФМО

1. Из литра молока получают 180 г сливок, а из одного килограмма сливок получают 200 г масла. Сколько трёхсотграммовых пачек масла получится из 150 л молока?
2. Выйдя из дома в школу, Таня вспомнила, что забыла тетрадь. Продолжая идти, девочка позвонила домой, и когда она была в пути уже 5 минут, её брат Саша выехал на самокате следом за ней. Вручив тетрадь, он вернулся домой ровно в то время, когда Таня подошла к школе. Какой путь от школы до дома прошла Таня, если известно, что она шла со скоростью 60 м/мин, а Саша ехал со скоростью 110 м/мин?
3. Дети рисовали линии на прямоугольном бревне, чтобы потом распилить его на поленья. Красным мелком нарисовали линии так, чтобы получилось 11 поленьев, зелёным – чтобы получилось 10, жёлтым – чтобы получилось 5. Все линии отличаются друг от друга.
   1. Сколько получится поленьев, если распилить по всем линиям?
   2. (Доп. вопрос) Сколько получится поленьев, если при распилах по линиям одного цвета получаются поленья одинаковой длины? При этом некоторые линии могут накладываться друг на друга.
4. Девочка покупала бусины для ожерелья. 17 маленьких бусинок и 18 больших бусинок стоят вместе 528 рублей. А 18 маленьких бусинок и 17 больших бусинок стоят 522 рубля. Сколько заплатит девочка за 20 больших и 20 маленьких бусинок?
5. На деревья с номерами от 1 до 6 свели соответственно 2, 6, 18, 14, 22, 26 птиц. С каких-то трёх из этих деревьев улетела ровно половина птиц. Могло ли улететь в общей сложности 24 птицы?
6. Площадь квадрата 3600 кв. м. Периметр квадрата уменьшили в 5 раз. Какова площадь нового квадрата?
7. Натуральное число зашифровано буквами, причём одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось слово «КУРЧАТОВСКАЯ». Известно, что сумма всех цифр этого числа равна 62. Найдите значение выражения \[ 2021 \cdot K \;+\; 2021 \cdot A. \]

Решения задач

1. Из литра молока получают 180 г сливок, а из одного килограмма сливок получают 200 г масла. Сколько трёхсотграммовых пачек масла получится из 150 л молока?
   Решение: Из 150 л молока получится сливок:
   $150 \cdot 0,18 = 27$ кг
   Из 27 кг сливок получится масла:
   $27 \cdot 0,2 = 5,4$ кг $= 5400$ г
   Количество трёхсотграммовых пачек:
   $\frac{5400}{300} = 18$ пачек
   Ответ: 18
   
   
2. Выйдя из дома в школу, Таня вспомнила, что забыла тетрадь. Продолжая идти, девочка позвонила домой, и когда она была в пути уже 5 минут, её брат Саша выехал на самокате следом за ней. Вручив тетрадь, он вернулся домой ровно в то время, когда Таня подошла к школе. Какой путь от школы до дома прошла Таня, если известно, что она шла со скоростью 60 м/мин, а Саша ехал со скоростью 110 м/мин?
   Решение: Пусть расстояние от дома до школы — \( S \) м.
   Время движения Тани до школы: \(\frac{S}{60}\) мин.
   Саша догнал Таню за время \( t \), пройдя путь: \( 110t = 60(t + 5) \)
   Решая уравнение:
   \( 110t = 60t + 300 \)
   \( 50t = 300 \)
   \( t = 6 \) мин
   Расстояние до встречи: \( 110 \cdot 6 = 660 \) м
   Путь Тани до встречи: \( 60 \cdot (5 + 6) = 660 \) м
   Саша вернулся домой, преодолев \( 2 \cdot 660 = 1320 \) м за \( \frac{1320}{110} = 12 \) мин. За это время Таня прошла:
   \( 12 \cdot 60 = 720 \) м
   Общий путь Тaни: \( 720 + 660 = 1380 \) м
   Но поскольку Саша вернулся домой, когда Таня дошла до школы, общее время движения равно. Проверим:
   Расстояние от встречи до школы: \( S - 660 \)
   Таня прошла его за \( \frac{S - 660}{60} \)
   Саша затратил на возвращение \( \frac{660}{110} = 6 \) мин
   Эти времена равны:
   \(\frac{S - 660}{60} = 6\)
   \( S - 660 = 360 \)
   \( S = 1020 \) м
   Ответ: 1020 м
3. Дети рисовали линии на прямоугольном бревне, чтобы потом распилить его на поленья. Красным мелком нарисовали линии так, чтобы получилось 11 поленьев, зелёным – чтобы получилось 10, жёлтым – чтобы получилось 5.
   1. Количество линий каждого цвета:
      Красных: \(11 - 1 = 10\)
      Зелёных: \(10 - 1 = 9\)
      Жёлтых: \(5 - 1 = 4\)
      Всех линий: \(10 + 9 + 4 = 23\)
      Поленьев: \(23 + 1 = 24\)
      Ответ: 24
   2. Если линии одного цвета делят бревно на равные части, то разные цветные линии могут совпадать. Однако все линии уникальны по условию пункта (a), а при наложении в одинаковых положениях линии будут учитываться один раз. Однако формулировка вопроса допускает совпадение линий одного цвета, что приводит к уменьшению общего числа уникальных линий. Но согласно условию все линии различаются, поэтому ответ остаётся \(\boxed{24}\).
   
   
   
4. Девочка покупала бусины для ожерелья. 17 маленьких бусинок и 18 больших бусинок стоят вместе 528 рублей. А 18 маленьких бусинок и 17 больших бусинок стоят 522 рубля. Сколько заплатит девочка за 20 больших и 20 маленьких бусинок?
   Решение: Обозначим \( м \) — цена маленькой бусы, \( б \) — большой. Составим систему:
   \[ \begin{cases} 17м + 18б = 528 \\ 18м + 17б = 522 \end{cases} \] Сложим уравнения:
   \(35м + 35б = 1050\)
   \(м + б = 30\)
   Умножив на 20: \(20м + 20б = 600\)
   Ответ: 600 рублей
5. На деревья с номерами от 1 до 6 свели соответственно 2, 6, 18, 14, 22, 26 птиц. С каких-то трёх из этих деревьев улетела ровно половина птиц. Могло ли улететь в общей сложности 24 птицы?
   Решение: Половина птиц с трёх деревьев: сумма чисел на этих деревьях должна быть \(24 \cdot 2 = 48\). Проверим возможные комбинации:
   \(18 + 14 + 16\) — числа 16 нет
   \(26 + 22\) — недостаёт 0
   Комбинаций трёх чисел из данных, дающих в сумме 48, нет.
   Ответ: Нет
6. Площадь квадрата 3600 кв. м. Периметр квадрата уменьшили в 5 раз. Какова площадь нового квадрата?
   Решение: Исходная сторона квадрата: \(\sqrt{3600} = 60\) м
   Периметр: \(4 \cdot 60 = 240\) м
   Новый периметр: \(\frac{240}{5} = 48\) м
   Сторона нового квадрата: \(\frac{48}{4} = 12\) м
   Площадь: \(12^2 = 144\) кв. м
   Ответ: 144
7. Натуральное число зашифровано буквами, причём одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось слово «КУРЧАТОВСКАЯ». Известно, что сумма всех цифр этого числа равна 62. Найдите значение выражения \[ 2021 \cdot K + 2021 \cdot A. \] Решение: Слово содержит повторяющиеся буквы К и А. Сумма цифр числа: \(2K + 2A + \text{(остальные уникальные цифры)} = 62\). Максимальная сумма уникальных цифр (от 0 до 9): \(9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 44\). Тогда \(2(K + A) = 62 - 44 = 18\), следовательно \(K + A = 9\). Однако сумма S остальных цифр может быть меньше. При \(K+A = 17\) (например, 8 и 9), тогда \(S = 62 - 34 = 28\), что соответствует комбинации уникальных цифр 0,1,2,3,4,5,6,7. Тогда значение выражения:
   \(2021 \cdot (K + A) = 2021 \cdot 17 = 34357\)
   Ответ: 34357