Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2020 год вариант 3

2020 Курчатовская олимпиада. Пробный экзамен в 5 класс ФМО Курчатовской школы 3 вариант

1. Мама сварила клубничное варенье. Оказалось, что масса таза с вареньем 3 кг 100 г, а масса таза 400 г. Мама собирается разлить варенье в банки, каждая из которых вмещает не более 500 г. Какое наименьшее количество банок ей нужно взять?
   
   
2. Ровно в два часа дня турист отправился на станцию, расположенную на расстоянии 1 км 200 м. Первый поезд отходит в 2 ч 8 мин, а второй — в 2 ч 15 мин. Он знает, что за 10 секунд делает 25 шагов и пять его шагов составляют 4 м. К какому поезду турист успеет прийти?
   
   
3. В школе праздник, дети выпускают в небо жёлтые, красные, белые и голубые воздушные шарики, всего 144 шарика. Красных шариков на 4 больше, чем голубых, жёлтых — на 4 больше, чем красных, а белых — на 4 больше, чем жёлтых. Сколько среди них белых шариков?
   
   
4. В игре «Юный конструктор» имеются шесть одинаковых прямоугольников со сторонами 5 см и 1 см. Миша решил сложить из них прямоугольник большого размера, не накладывая детали друг на друга.
   1. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз все шесть деталей? Начертите их.
   2. Какой из полученных прямоугольников имеет наибольший периметр? Укажите его периметр.
   3. Какой из полученных прямоугольников имеет наибольшую площадь? Укажите его площадь.
   4. Можно ли из данных прямоугольников сложить квадрат? Ответ обоснуйте.
   
   
   
5. У Мити 90 орехов. Он решил раздать их 13 белкам так, чтобы никакие две не получили орехов поровну и каждой досталось не менее одного ореха. Сможет ли он это сделать?
   
   
6. Перемножили 18 натуральных чисел и получили 18. Чему равна сумма этих 18 чисел? Рассмотрите все варианты.
   
   
7. В слове «ДЮЙМОВОЧКА» одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Известно, что среди цифр нет нуля, и произведение цифр делится на 49. Найдите сумму этих цифр.

Решения задач

1. Мама сварила клубничное варенье. Оказалось, что масса таза с вареньем 3 кг 100 г, а масса таза 400 г. Мама собирается разлить варенье в банки, каждая из которых вмещает не более 500 г. Какое наименьшее количество банок ей нужно взять?
   Решение: Масса варенья без таза:
   $3100\ \text{г} - 400\ \text{г} = 2700\ \text{г}$.
   Наименьшее количество банок: $\frac{2700}{500} = 5{,}4$.
   Требуется 6 банок.
   Ответ: 6.
   
   
2. Ровно в два часа дня турист отправился на станцию, расположенную на расстоянии 1 км 200 м. Первый поезд отходит в 2 ч 8 мин, а второй — в 2 ч 15 мин. Он знает, что за 10 секунд делает 25 шагов и пять его шагов составляют 4 м. К какому поезду турист успеет прийти?
   Решение: Скорость пешехода:
   5 шагов = 4 м $\Rightarrow$ шаг = $0{,}8$ м.
   25 шагов за 10 сек = $25 \cdot 0{,}8 = 20$ м/10 сек = $2$ м/с = $120$ м/мин.
   Время до станции: $\frac{1200\ \text{м}}{120\ \text{м/мин}} = 10$ минут.
   Прибытие в $2:10$ дня. Турист успеет ко второму поезду (в $2:15$).
   Ответ: Ко второму.
   
   
3. В школе праздник, дети выпускают в небо жёлтые, красные, белые и голубые воздушные шарики, всего 144 шарика. Красных шариков на 4 больше, чем голубых, жёлтых — на 4 больше, чем красных, а белых — на 4 больше, чем жёлтых. Сколько среди них белых шариков?
   Решение: Пусть голубых $x$, тогда красных $x + 4$, жёлтых $x + 8$, белых $x + 12$.
   Сумма: $x + (x + 4) + (x + 8) + (x + 12) = 4x + 24 = 144$.
   Откуда $4x = 120 \Rightarrow x = 30$. Белых шаров: $30 + 12 = 42$.
   Ответ: 42.
   
   
4. В игре «Юный конструктор» имеются шесть одинаковых прямоугольников со сторонами 5 см и 1 см. Миша решил сложить из них прямоугольник большого размера, не накладывая детали друг на друга.
   1. [label=\alph*)]
   2. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз все шесть деталей? Начертите их.
      Решение: Площадь прямоугольника: $6 \cdot 5 \cdot 1 = 30$ см². Возможные размеры:
      $1 \times 30$, $2 \times 15$, $3 \times 10$, $5 \times 6$.
      Ответ: 4.
   3. Какой из полученных прямоугольников имеет наибольший периметр? Укажите его периметр: \underline{\hspace{2cm}} см.
      Решение: Максимальный периметр у прямоугольника $1 \times 30$:
      $2 \cdot (1 + 30) = 62$ см.
      Ответ: 62.
   4. Какой из полученных прямоугольников имеет наибольшую площадь? Укажите его площадь: \underline{\hspace{2cm}} см².
      Решение: Площадь всех прямоугольников одинакова: $30$ см².
      Ответ: 30.
   5. Можно ли из данных прямоугольников сложить квадрат? Ответ обоснуйте.
      Решение: Нет, поскольку площадь квадрата должна быть $30 \Rightarrow$ сторона $\sqrt{30}$ — нецелое число.
      Ответ: Нет.
   
   
   
5. У Мити 90 орехов. Он решил раздать их 13 белкам так, чтобы никакие две не получили орехов поровну и каждой досталось не менее одного ореха. Сможет ли он это сделать?
   Решение: Минимальная сумма орехов: $1 + 2 + \dots + 13 = \frac{13 \cdot 14}{2} = 91 > 90$.
   Ответ: Нет.
   
   
6. Перемножили 18 натуральных чисел и получили 18. Чему равна сумма этих 18 чисел? Рассмотрите все варианты.
   Решение: Произведение можно представить как $1^{16} \times 2 \times 3 \times 3$. Тогда сумма равна:
   $1 \cdot 16 + 2 + 3 + 3 = 24$. Минимальная сумма — $24$. Максимальная — $18 + 1 \cdot 17 = 35$. Возможны суммы от $24$ до $35$ в зависимости от разложения.
   Ответ: Минимальная сумма — 24, максимальная — 35.
   
   
7. В слове «ДЮЙМОВОЧКА» одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Известно, что среди цифр нет нуля, и произведение цифр делится на 49. Найдите сумму этих цифр.
   Решение: Для делимости на $49$ необходимы две $7$. Буква «О» повторяется дважды $\Rightarrow O = 7$. Остальные буквы получают уникальные цифры из $\{1,2,3,4,5,6,8,9\}$. Сумма этих $8$ цифр:
   $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9 = 38$. Добавим две цифры «7»:
   $38 + 7 \cdot 2 = 52$.
   Ответ: 52.