Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2020 год

Курчатовская школа

2020

Вариант 1

1. Мама сварила сливовое варенье. Оказалось, что масса таза с вареньем — 7 кг 500 г, а масса таза — 800 г. Мама собирается разлить варенье в банки, каждая из которых вмещает не более 900 г. Какое наименьшее количество банок ей нужно взять? Объясните решение.
   
   
2. Ровно в 9 утра турист отправился на станцию, расположенную на расстоянии 2 км 400 м. Первый поезд отходит в 9 ч 35 мин, а второй — в 9 ч 55 мин. Он знает, что за 10 секунд делает 20 шагов, и четыре его шага составляют 2 м. К какому поезду турист успеет прийти? Запишите решение с объяснением.
   
   
3. В школе праздник, дети выпускают в небо жёлтые, красные, белые и голубые воздушные шарики, всего 218 шаров. Голубых шариков на три больше, чем жёлтых, жёлтых — на три больше, чем красных, а белых — на три больше, чем красных. Сколько среди них белых шариков? Запишите решение с объяснением.
   
   
4. В игре «Юный конструктор» имеются четыре детали в виде одинаковых прямоугольников со сторонами 4 см и 2 см. Миша решил сложить из них прямоугольник большего размера, не накладывая один на другой.
   
   
   1. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз все четыре одинаковых прямоугольника? Начертите их.
   2. Какой из получившихся прямоугольников имеет наименьший периметр?
   3. Какой из прямоугольников имеет наибольшую площадь?
   4. Можно ли из данных прямоугольников сложить квадрат? Ответ обоснуйте.
   
   
   
5. У Мити 100 орехов. Он решил раздать их четырнадцати белкам так, чтобы никакие две не получили орехов поровну и каждая белка получила не менее одного ореха. Сможет ли он это сделать? Запишите объяснение.
   
   
6. Перемножили 20 натуральных чисел и получили 20. Чему равна сумма этих двадцати чисел? Рассмотрите все варианты. Запишите объяснение.
   
   
7. В словах «КОТ МУРЛЫКА» одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Известно, что среди цифр нет нулей, и произведение цифр делится на 49. Найдите сумму цифр. Запишите объяснение.
   
   

Решения задач

1. Мама сварила сливовое варенье. Оказалось, что масса таза с вареньем — 7 кг 500 г, а масса таза — 800 г. Мама собирается разлить варенье в банки, каждая из которых вмещает не более 900 г. Какое наименьшее количество банок ей нужно взять? Объясните решение.
   Решение: Масса варенья без таза:
   $7500\ \text{г} - 800\ \text{г} = 6700\ \text{г}$.
   Каждая банка вмещает до 900 г. Найдем количество банок:
   $\frac{6700}{900} \approx 7,444$.
   Так как банки должны быть целыми, потребуется $\lceil 7,444 \rceil = 8$ банок.
   Ответ: 8.
   
   
2. Ровно в 9 утра турист отправился на станцию, расположенную на расстоянии 2 км 400 м. Первый поезд отходит в 9 ч 35 мин, а второй — в 9 ч 55 мин. Он знает, что за 10 секунд делает 20 шагов, и четыре его шага составляют 2 м. К какому поезду турист успеет прийти? Запишите решение с объяснением.
   Решение: Скорость туриста:
   За 10 секунд — 20 шагов $\Rightarrow$ 2 шага/сек.
   4 шага = 2 м $\Rightarrow$ 1 шаг = 0,5 м.
   Скорость
   $\text{шага/сек} \cdot 0,5\ \text{м/шаг} = 1\ \text{м/с}$.
   Время на путь:
   $2400\ \text{м} : 1\ \text{м/с} = 2400\ \text{сек} = 40\ \text{мин}$.
   Прибытие в 9:00 + 40 мин = 9:40.
   Успеет ко второму поезду (9:55).
   Ответ: ко второму.
   
   
3. В школе праздник, дети выпускают в небо жёлтые, красные, белые и голубые воздушные шарики, всего 218 шаров. Голубых шариков на три больше, чем жёлтых, жёлтых — на три больше, чем красных, а белых — на три больше, чем красных. Сколько среди них белых шариков? Запишите решение с объяснением.
   Решение: Пусть красных шаров — $x$. Тогда:
   Жёлтых: $x + 3$,
   Голубых: $(x + 3) + 3 = x + 6$,
   Белых: $x + 3$.
   Сумма:
   $x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 3) = 4x + 12 = 218$.
   $4x = 206 \Rightarrow x = 51,5$ — противоречие. Вероятно, опечатка в условии. При допущении целого $x = 51$:
   Белых: $51 + 3 = 54$.
   Ответ: 54.
   
   
4. В игре «Юный конструктор» имеются четыре детали в виде одинаковых прямоугольников со сторонами 4 см и 2 см. Миша решил сложить из них прямоугольник большего размера, не накладывая один на другой.
   1. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз все четыре одинаковых прямоугольника? Начертите их.
      Решение: Возможные варианты:
      1) $16 \times 2$ см (4 детали в ряд),
      2) $8 \times 4$ см (2 ряда по 2 детали),
      3) $4 \times 8$ см (аналогично предыдущему, повернут на 90°).
      Ответ: 3 варианта.
      
      
   2. Какой из получившихся прямоугольников имеет наименьший периметр?
      Решение: Периметры:
      1) $(16 + 2) \cdot 2 = 36$ см,
      2) $(8 + 4) \cdot 2 = 24$ см,
      3) $(4 + 8) \cdot 2 = 24$ см.
      Наименьший периметр: 24 см.
      Ответ: $8 \times 4$ см или $4 \times 8$ см.
      
      
   3. Какой из прямоугольников имеет наибольшую площадь?
      Решение: Площадь всех вариантов одинакова:
      $4 \times 2 \times 4 = 32$ см².
      Ответ: все равны.
      
      
   4. Можно ли из данных прямоугольников сложить квадрат? Ответ обоснуйте.
      Решение: Площадь 32 см². Сторона квадрата $\sqrt{32} \approx 5,66$ см — не целое число.
      Ответ: нет.
   
   
   
5. У Мити 100 орехов. Он решил раздать их четырнадцати белкам так, чтобы никакие две не получили орехов поровну и каждая белка получила не менее одного ореха. Сможет ли он это сделать? Запишите объяснение.
   Решение: Минимальная сумма при разных количествах:
   $1 + 2 + \dots + 14 = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105$.
   Так как $100 < 105$, невозможно.
   Ответ: нет.
   
   
6. Перемножили 20 натуральных чисел и получили 20. Чему равна сумма этих двадцати чисел? Рассмотрите все варианты. Запишите объяснение.
   Решение: Разложение на множители:
   $20 = 1^{18} \cdot 2 \cdot 5$. Сумма: $18 \cdot 1 + 2 + 5 = 25$.
   Другие варианты (например, $1^{17} \cdot 4 \cdot 5$) дают большую сумму.
   Ответ: 25.
   
   
7. В словах «КОТ МУРЛЫКА» одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Известно, что среди цифр нет нулей, и произведение цифр делится на 49. Найдите сумму цифр. Запишите объяснение.
   Решение: Произведение делится на $49 = 7^2$, значит, есть две цифры 7. Остальные буквы — уникальные цифры от 1 до 9 (без 0). Минимальная сумма:
   $7 + 7 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9 = 52$.
   Ответ: 52.