Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2018 год

2018 Курчатовская олимпиада, 4 класс 11.02.2018

1. Даша написала некоторое натуральное число. Потом она заменила каждую цифру буквой, причём одинаковые цифры одинаковыми буквами, разные цифры — разными буквами. Получилось слово АНАНАС. Известно, что сумма всех цифр зашифрованного числа равна 50. Какая последняя цифра у этого числа? (код задачи: 21126)
2. Можно ли числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., 15, 16 расставить в клетки квадрата, представленного на рисунке, так, чтобы произведение чисел по каждому из столбцов делилось на 9? (код задачи: 21127)
3. Папа старше сына в 3 раза, а мама младше папы на 5 лет. Через 7 лет им всем вместе будет 107 лет. Сколько лет сыну сейчас? (код задачи: 21128)
4. Семь гномиков строят семь домиков за семь дней. За сколько дней сто гномиков построят сто домиков? (код задачи: 21129)
5. Поперёк длинного бревна нарисовали линии и раскрасили их в один из трёх цветов: красный, зелёный или жёлтый. Если распилить его по красным линиям, то получится 11 поленьев, если по зелёным — 10 поленьев, если по жёлтым линиям — 5. Сколько поленьев получится, если распилить бревно по всем цветным линиям? (код задачи: 21130)
6. Тёма знает, что у его бабушки в сундуке лежат красивые шарики: 31 белый, 42 синих, 11 красных, 64 зелёных и 53 жёлтых. В темноте он наугад вытаскивает их один за другим до тех пор, пока у него не окажется разное количество шариков каждого цвета. Сколько шариков ему придётся вытащить в худшем случае? (код задачи: 21131)

Решения задач

1. Даша написала натуральное число АНАНАС, где одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, сумма цифр равна 50. Последняя цифра (С) равна...
   Решение: Рассмотрим буквы А, Н, С. В слове АНАНАС три А, два Н, одна С. Сумма цифр: \(3A + 2H + C = 50\). Поскольку цифры различаются, возможное решение: \(A = 9\), \(H = 8\), \(C = 7\) (проверка: \(3\cdot9 + 2\cdot8 + 7 = 27 + 16 + 7 = 50\)).
   Ответ: 7.
2. Можно ли числа 1–16 расставить в квадрате 4$\times$4 так, чтобы произведения в столбцах делились на 9?
   Решение: Для делимости на 9 необходимо, чтобы хотя бы одно число в столбце было кратно 9. Из чисел 1–16 только 9 кратно 9. Так как число 9 одно, невозможно разместить его во всех столбцах.
   Ответ: Нельзя.
3. Возраст сына сейчас, если папа в 3 раза старше сына, мама младше папы на 5 лет, а суммарный их возраст через 7 лет — 107 лет.
   Решение: Пусть сыну \(S\) лет. Тогда папе \(3S\), маме \(3S - 5\). Текущий суммарный возраст: \(S + 3S + (3S - 5) = 7S - 5\). Через 7 лет: \(7S - 5 + 3\cdot7 = 7S + 16\). Уравнение: \(7S + 16 = 107 \Rightarrow S = 13\).
   Ответ: 13.
4. Время, за которое 100 гномов построят 100 домиков.
   Решение: 7 гномов строят 7 домиков за 7 дней → 1 гном строит 1 дом за 7 дней. Следовательно, 100 гномов построят 100 домов за \boxed{7} дней.
5. Количество поленьев после распиливания бревна по всем цветным линиям.
   Решение: Красные линии дают 11 поленьев → 10 разрезов. Зелёные — 10 поленьев → 9 разрезов. Жёлтые — 5 поленьев → 4 разреза. Общие разрезы: 10 + 9 + 4 = 23. Поленьев: 23 + 1 = 24.
6. Максимальное число шариков, которые нужно достать в худшем случае.
   Решение: В худшем случае надо вытащить максимум без различий по количеству. Наибольшее число: \( (31-1) + (42-1) + (11-1) + (64-1) + (53-1) + 1 = 197 \).
   Ответ: 197.