8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2018 год

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Печать
youit.school ©

Курчатовская школа, 2018 г



  1. Коля выехал из села в 9ч 50 мин. Ровно через час за ним выехал Вася. Во сколько Вася догонит Колю, если Вася проезжает 5 км за 20 мин, а скорость Коли 10 км/ч?
  2. В семье мама, папа и 5 детей. Сумма их возрастов 77 лет. Через сколько лет эта сумма увеличится в 3 раза?
  3. На всех гранях куба написаны по порядку некоторые натуральные числа. Их сумма 333. Найдите наибольшее число из записанных.
  4. В классе 30 человек писали диктант. Некоторые допустили ошибки, а некоторые их не сделали. Вася сделал больше всех ошибок — 14 штук. Докажите, что есть хотя бы 3 человека с одинаковым количеством ошибок.
  5. В семье живет козел, коза и 5 козлят. Козел приводит в порядок огород за 2 часа, коза за 7 часов, а каждый из пяти козлят за 14 часов. За сколько времени они вместе приведут в порядок огород?
  6. На турнире, проходящем по системе «каждый с каждым играет по одному разу», было сыграно 45 шахматных партий. Сколько было игроков?
  7. Типография печатает книгу. Для нумерации ее страниц используется 354 цифры (включая повторяющиеся). Сколько страниц в книге?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Коля выехал из села в 9ч 50 мин. Ровно через час за ним выехал Вася. Во сколько Вася догонит Колю, если Вася проезжает 5 км за 20 мин, а скорость Коли 10 км/ч?
    Решение: Скорость Васи: $\frac{5 \text{ км}}{20 \text{ мин}} = 15$ км/ч. Коля к моменту выезда Васи (через 1 час) проехал $10$ км. Разница скоростей: $15 - 10 = 5$ км/ч.
    Время до встречи: $\frac{10}{5} = 2$ часа. Вася догонит Колю в $10:50 + 2$ часа $= 12:50$.
    Ответ: в 12 часов 50 минут.
  2. В семье мама, папа и 5 детей. Сумма их возрастов 77 лет. Через сколько лет эта сумма увеличится в 3 раза?
    Решение: Новая сумма возрастов: $77 \cdot 3 = 231$ лет. Требуемый прирост: $231 - 77 = 154$ лет.
    Каждый год сумма возрастов увеличивается на $7$ человек $\cdot 1$ год $= 7$ лет. Необходимое время: $\frac{154}{7} = 22$ года.
    Ответ: через 22 года.
  3. На всех гранях куба написаны по порядку некоторые натуральные числа. Их сумма 333. Найдите наибольшее число из записанных.
    Решение: У куба 6 граней. Последовательные числа: $x, x+1, ..., x+5$. Сумма: $6x + 15 = 333 \Rightarrow 6x = 318 \Rightarrow x = 53$. Максимальное число: $x + 5 = 58$.
    Ответ: 58.
  4. В классе 30 человек писали диктант. Некоторые допустили ошибки, а некоторые их не сделали. Вася сделал больше всех ошибок — 14 штук. Докажите, что есть хотя бы 3 человека с одинаковым количеством ошибок.
    Решение: Возможные варианты ошибок: от 0 до 14 (15 вариантов). По принципу Дирихле: $\frac{29}{15} = 1.93$. На 15 вариантов приходится 29 человек $\Rightarrow$ минимум 1 вариант встречается 3 раза (т.к. $15 \cdot 2 = 30$, но Вася занял единственный экземпляр своего варианта).
    Ответ: доказано.
  5. В семье живет козел, коза и 5 козлят. Козел приводит в порядок огород за 2 часа, коза за 7 часов, а каждый из пяти козлят за 14 часов. За сколько времени они вместе приведут в порядок огород?
    Решение: Производительности: козёл — $\frac{1}{2}$, коза — $\frac{1}{7}$, козлёнок — $\frac{1}{14}$. Совместная производительность: $\frac{1}{2} + \frac{1}{7} + 5 \cdot \frac{1}{14} = \frac{7}{14} + \frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{14}{14} = 1$ участок/час.
    Ответ: за 1 час.
  6. На турнире, проходящем по системе «каждый с каждым играет по одному разу», было сыграно 45 шахматных партий. Сколько было игроков?
    Решение: Число партий: $\frac{n(n-1)}{2} = 45 \Rightarrow n^2 - n - 90 = 0$. Дискриминант: $1 + 360 = 361$. Корень: $\frac{1 + 19}{2} = 10$.
    Ответ: 10.
  7. Типография печатает книгу. Для нумерации ее страниц используется 354 цифры (включая повторяющиеся). Сколько страниц в книге?
    Решение: Страницы 1-9: $9$ цифр. Страницы 10-99: $90 \cdot 2 = 180$ цифр. Остаток: $354 - 189 = 165$ цифр $\Rightarrow \frac{165}{3} = 55$ трёхзначных страниц. Всего: $99 + 55 = 154$ страницы.
    Ответ: 154 страницы.
Материалы школы Юайти