Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2017 год 1 тур

Курчатовская олимпиада, 4 класс, 1-й тур, 2017

1. Наступил 2017 год. Сколько годов с такой же суммой цифр будет в ближайшие 100 лет?
   
   
2. 17 маленьких бусинок и 18 больших бусинок стоят вместе 528 рублей. А 18 маленьких бусинок и 17 больших бусинок стоят 522 рубля. Сколько заплатит девочка за 20 больших и 20 маленьких бусинок?
   
   
3. Мама чистит ведро картошки за 10 минут, папа — за 12 минут, а Вася — за 1 час. За сколько времени они вместе почистят ведро картошки?
   
   
4. «МАМА» — это зашифрованное число. В почётной семье черепашек 5 сестер. Самой младшей черепашке — на 1 год больше, чем сумма цифр в зашифрованном числе. Каждая последующая сестра на 2 года старше предыдущей черепашки. Может ли сумма лет всех 5 черепашек равняться 108?
   
   
5. Белоснежка привела 7 гномов на бал. Перед входом Белоснежка сказала им вытянуть по лотерейному билету на удачу. Она сказала, что разность чисел на лотерейных билетах двух из них будет делиться на 6. Права ли она?
   
   
6. На куриный турнир отбирали куриц: умных, красивых и весёлых. Всего 26 кур. Сколько вариантов отправить куриц?

Решения задач

1. Наступил 2017 год. Сколько годов с такой же суммой цифр будет в ближайшие 100 лет?
   Решение: Сумма цифр 2017 года: $2+0+1+7=10$. Нужно найти количество лет между 2017 и 2116 включительно с суммой цифр, равной 10.
   Рассмотрим два случая:
   • Для лет от 2017 до 2099: сумма вида $2+0+C+D=10$, где $C$ и $D$ — цифры. Условие: $C+D=8$. Возможные комбинации $(C,D)$: $(1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0)$. Соответствующие годы: \emph{2017, 2026, 2035, 2044, 2053, 2062, 2071, 2080} — 8 лет.
   • Для лет от 2100 до 2116: сумма вида $2+1+C+D=10$, где $C$ и $D$ — цифры. Условие: $C+D=7$. Возможные комбинации $(C,D)$: $(0,7), (1,6)$. Соответствующие годы: \emph{2107, 2116} — 2 года.
   Итого: $8 + 2 = 10$ лет.
   Ответ: 10.
2. 17 маленьких бусинок и 18 больших бусинок стоят вместе 528 рублей. А 18 маленьких бусинок и 17 больших бусинок стоят 522 рубля. Сколько заплатит девочка за 20 больших и 20 маленьких бусинок?
   Решение: Обозначим стоимость малой бусинки как $m$, а большой — $b$. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} 17m + 18b = 528 \\ 18m + 17b = 522 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 35m + 35b = 1050 \quad \Rightarrow \quad m + b = 30 \] Тогда стоимость 20 бусинок каждого вида: \[ 20(m + b) = 20 \cdot 30 = 600 \text{ руб.} \] Ответ: 600 рублей.
3. Мама чистит ведро картошки за 10 минут, папа — за 12 минут, а Вася — за 1 час. За сколько времени они вместе почистят ведро картошки?
   Решение: Производительность каждого (доля ведра в минуту): \[ \text{Мама: } \frac{1}{10}, \quad \text{Папа: } \frac{1}{12}, \quad \text{Вася: } \frac{1}{60} \] Совместная производительность: \[ \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{60} = \frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{1}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad \text{Время: } 5 \text{ минут}. \] Ответ: 5 минут.
4. «МАМА» — это зашифрованное число. В почётной семье черепашек 5 сестер. Самой младшей черепашке — на 1 год больше, чем сумма цифр в зашифрованном числе. Каждая последующая сестра на 2 года старше предыдущей. Может ли сумма лет всех 5 черепашек равняться 108?
   Решение: Пусть сумма цифр «МАМА» равна $2M + 2A$. Возраст младшей сестры: $S = 2(M + A) + 1$. Возраста остальных: $S + 2, S + 4, S + 6, S + 8$. Сумма всех возрастов: \[ 5S + 20 = 108 \quad \Rightarrow \quad S = \frac{88}{5} = 17{,}6 \] Возраст не может быть дробным.
   Ответ: Нет.
5. Белоснежка привела 7 громов на бал. Разность чисел на билетах двух из них будет делиться на 6. Права ли она?
   Решение: Числа на билетах совпадают по модулю 6. По принципу Дирихле, среди 7 чисел найдется два с одинаковым остатком при делении на 6. Разность таких чисел делится на 6.
   Ответ: Да.
6. На куриный турнир отбирали куриц: умных, красивых и весёлых. Всего 26 кур. Сколько вариантов отправить куриц?
   Решение: Каждую курицу можно отнести к одной или нескольким категориям из трех. Для каждой курицы существует $2^3 = 8$ вариантов (3 признака: наличие/отсутствие). Общее количество комбинаций: \[ 8^{26} \] Ответ: $8^{26}$.