Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2017 год

Курчатовская школа

2020

23.04.2017

1. Найдите сумму цифр в десятичной записи числа, полученного в результате выполнения действий: \[ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5. \] Объясните решение.
   
   
2. В школе праздник, дети выпускают в небо жёлтые, красные, белые и голубые воздушные шарики, всего 366 шаров. Жёлтых шариков на один больше, чем белых, голубых — на один больше, чем жёлтых, а красных — на один больше, чем голубых. Сколько среди них красных шариков? Дайте подробное объяснение решения.
   
   
3. — Сколько тебе лет? — спросили Юлю.
   
   — Возьми сумму всех цифр в слове «КУРЧАТОВЕЦ», прибавь к ней произведение всех цифр, и полученный результат раздели на 5. Вот и мой возраст, — ответила умная Юля. — Кстати, этим словом зашифровано число, и разные буквы обозначают разные цифры.
   
   Так сколько же лет Юле? Дайте подробное объяснение решения.
   
   
4. На деревья под номерами с первого по шестой сели соответственно 2, 6, 20, 14, 22 и 26 птиц. С каких трёх из этих деревьев улетела ровно половина птиц. Могло ли улететь в общей сложности 24 птицы? Дайте полное обоснование решения.
   
   
5. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых произведение цифр меньше 2? Объясните решение.
   
   
6. Выйдя из дома в школу, Таня вспомнила, что забыла тетрадь. Продолжая идти, девочка позвонила домой, и когда она была в пути уже 5 минут, её брат Саша выехал на самокате следом за ней. Вручив тетрадь, он вернулся домой ровно в то время, когда Таня подошла к школе. Какой путь от дома до школы прошла Таня, если известно, что она шла со скоростью 60 м/мин, а Саша ехал со скоростью 110 м/мин? Дайте подробное объяснение решения.
   
   
7. На олимпиаде половина участников решила ровно 2 задачи, четверть участников — ровно 3 задачи, пятая часть — ровно 4 задачи, а остальные 18 человек решили по 5 задач. Сколько ребят участвовало в олимпиаде?
   
   

Решения задач

1. Найдите сумму цифр в десятичной записи числа, полученного в результате выполнения действий: \[ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5. \]
   Решение: Вычислим произведение:
   $4^3 \cdot 5^5 = 64 \cdot 3125 = 200000$.
   Сумма цифр числа 200000: $2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2$.
   Ответ: 2.
   
   
2. В школе праздник, дети выпускают в небо жёлтые, красные, белые и голубые воздушные шарики, всего 366 шаров. Жёлтых шариков на один больше, чем белых, голубых — на один больше, чем жёлтых, а красных — на один больше, чем голубых. Сколько среди них красных шариков?
   Решение: Пусть белых шаров $x$. Тогда:
   Жёлтых: $x + 1$,
   Голубых: $x + 2$,
   Красных: $x + 3$.
   Сумма: $x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 4x + 6 = 366$.
   $4x = 360 \quad \Rightarrow \quad x = 90$.
   Красных шаров: $90 + 3 = 93$.
   Ответ: 93.
   
   
3. — Сколько тебе лет? — спросили Юлю. — Возьми сумму всех цифр в слове «КУРЧАТОВЕЦ», прибавь к ней произведение всех цифр, и полученный результат раздели на 5. Вот и мой возраст, — ответила умная Юля. — Кстати, этим словом зашифровано число, и разные буквы обозначают разные цифры.
   Ре
   Ре
   Ре
   Решение: В слове 10 различных букв, соответствующих цифрам 0-9. Сумма всех цифр от 0 до 9 равна 45. Произведение содержит 0, поэтому равно 0.
   Возраст: $\frac{45 + 0}{5} = 9$.
   Ответ: 9.
   
   
4. На деревья под номерами с первого по шестой сели соответственно 2, 6, 20, 14, 22 и 26 птиц. С каких трёх из этих деревьев улетела ровно половина птиц. Могло ли улететь в общей сложности 24 птицы?
   Решение: Половина птиц с трёх деревьев:
   $\frac{2}{2} = 1$, $\frac{6}{2} = 3$, $\frac{20}{2} = 10$, $\frac{14}{2} = 7$, $\frac{22}{2} = 11$, $\frac{26}{2} = 13$.
   Комбинация: $3$ (с дерева 2) + $10$ (с дерева 3) + $11$ (с дерева 5) = $24$.
   Ответ: Да, с деревьев 2, 3 и 5.
   
   
5. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых произведение цифр меньше 2?
   Решение: Произведение цифр может быть 0 или 1.
   Числа с произведением 0: содержат хотя бы один 0. Их количество: $9 \cdot 19 = 171$ (первая цифра 1-9, остальные с хотя бы одним 0).
   Числа с произведением 1: 111.
   Итого: $171 + 1 = 172$. Но учтены числа вида 100, 101 и т.д. с нулями. Исправление: при подсчёте чисел с нулями и первой цифрой ≥2 получаем $8 \cdot 19 = 152$, плюс 4 числа с первой цифрой 1. Итого $152 + 4 = 156$.
   Ответ: 156.
   
   
6. Выйдя из дома в школу, Таня вспомнила, что забыла тетрадь. Продолжая идти, девочка позвонила домой, и когда она была в пути уже 5 минут, её брат Саша выехал на самокате следом за ней. Вручив тетрадь, он вернулся домой ровно в то время, когда Таня подошла к школе. Какой путь от дома до школы прошла Таня, если известно, что она шла со скоростью 60 м/мин, а Саша ехал со скоростью 110 м/мин?
   Решение: Пусть время движения Саши до встречи — $t$ минут. Расстояние до встречи:
   $60(5 + t) = 110t \quad \Rightarrow \quad t = 6$ минут.
   Расстояние до школы: $60 \cdot (5 + 6 + 6) = 60 \cdot 17 = 1020$ метров.
   Ответ: 1020 м.
   
   
7. На олимпиаде половина участников решила ровно 2 задачи, четверть участников — ровно 3 задачи, пятая часть — ровно 4 задачи, а остальные 18 человек решили по 5 задач. Сколько ребят участвовало в олимпиаде?
   Решение: Пусть всего участников $x$. Тогда:
   $0,5x + 0,25x + 0,2x + 18 = x \quad \Rightarrow \quad 0,95x + 18 = x \quad \Rightarrow \quad 0,05x = 18 \quad \Rightarrow \quad x = 360$.
   Ответ: 360.