Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2016 год

Курчатовская школа

2016

24.04.2016

1. Пирожное стоит 55 рублей, а ватрушка — 33 рубля. Папа купил домой к празднику целую коробку пирожных и полный пакет ватрушек. Может ли покупка стоить 2300 рублей?
   
   
2. Волк начал погоню за зайцем, когда расстояние между ними было 390 метров. Скорость волка — 8 м/с, а зайца — 5 м/с. По ходу погони уставший волк отдыхал 6 секунд, а заяц продолжал убегать без остановки. И всё-таки волк настиг зайца. Сколько времени длилась погоня?
   
   
3. Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых только одна цифра 3?
   
   
4. В одном из вагонов метро было в 3 раза больше пассажиров, чем во втором вагоне. После того, как из первого вагона вышло 40 человек, а во второй вошло 12 человек, количество пассажиров сравнялось. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?
   
   
5. Площадь квадрата — 3600 см\textsuperscript{2}. Периметр квадрата уменьшили в пять раз. Какова площадь нового квадрата?
   
   
6. Четыре белки съели 1999 орехов, каждая — не меньше, чем 100 орехов. Первая белка съела больше всех, вторая и третья вместе съели 1265 орехов. Сколько орехов съела первая белка?
   
   

Решения задач

1. Пирожное стоит 55 рублей, а ватрушка — 33 рубля. Папа купил домой к празднику целую коробку пирожных и полный пакет ватрушек. Может ли покупка стоить 2300 рублей?
   Решение: Пусть количество пирожных — $x$, ватрушек — $y$. Тогда сумма покупки: $55x + 33y = 2300$. Вынесем общий множитель 11: $5x + 3y = \frac{2300}{11} \approx 209,09$. Так как $2300$ не делится на 11, уравнение не имеет целых решений.
   Ответ: Нет.
2. Волк начал погоню за зайцем, когда расстояние между ними было 390 метров. Скорость волка — 8 м/с, а зайца — 5 м/с. По ходу погони уставший волк отдыхал 6 секунд, а заяц продолжал убегать без остановки. И всё-таки волк настиг зайца. Сколько времени длилась погоня?
   Решение: Скорость сближения: $8 - 5 = 3$ м/с. За время $t$ волк бежал $(t - 6)$ секунд. Уравнение расстояния:
   $3(t - 6) - 5 \cdot 6 = 390$
   $3t - 18 - 30 = 390$
   $3t = 438$
   $t = 146$ секунд.
   Ответ: 146 секунд.
3. Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых только одна цифра 3?
   Решение: Рассмотрим три случая:
   • Цифра 3 в сотнях: $1 \cdot 9 \cdot 9 = 81$ число (десятки и единицы — любые, кроме 3).
   • Цифра 3 в десятках: $8 \cdot 1 \cdot 9 = 72$ числа (сотки от 1 до 9, кроме 3; единицы — любые, кроме 3).
   • Цифра 3 в единицах: $8 \cdot 9 \cdot 1 = 72$ числа (сотки от 1 до 9, кроме 3; десятки — любые, кроме 3).
   Итого: $81 + 72 + 72 = 225$ чисел.
   Ответ: 225.
4. В одном из вагонов метро было в 3 раза больше пассажиров, чем во втором вагоне, как из, как из первого вагона вышло 40 человек, а во второй вошло 12 человек, количество пассажиров сравнялось. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?
   Решение: Пусть во втором вагоне было $x$ человек, тогда в первом — $3x$. После изменений:
   $3x - 40 = x + 12$
   $2x = 52$
   $x = 26$ (второй вагон), $3x = 78$ (первый вагон).
   Ответ: 78 и 26.
5. Площадь квадрата — 3600 см\textsuperscript{2}. Периметр квадрата уменьшили в пять раз. Какова площадь нового квадрата?
   Решение: Сторона исходного квадрата: $\sqrt{3600} = 60$ см. Периметр: $4 \cdot 60 = 240$ см. Новый периметр: $\frac{240}{5} = 48$ см. Сторона нового квадрата: $\frac{48}{4} = 12$ см. Площадь: $12^2 = 144$ см\textsuperscript{2}.
   Ответ: 144 см\textsuperscript{2}.
6. Четыре белки съели 1999 орехов, каждая — не меньше, чем 100 орехов. Первая белка съела больше всех, вторая и третья вместе съели 1265 орехов. Сколько орехов съела первая белка?
   Решение: Пусть первая белка съела $A$, четвертая — $D$. Тогда $A + D = 1999 - 1265 = 734$. Минимальное $D = 100$, тогда максимальное $A = 734 - 100 = 634$. Проверим условие: вторая и третья белки ($B$ и $C$) должны быть меньше $A$. Максимальное значение для $B$ или $C$ при $B + C = 1265$: $1265 - 100 = 1165$, что противоречит условию. Следовательно, $D > 100$ невозможно, так как $A$ уменьшится. Значит, $A = 634$, $D = 100$, а $B$ и $C$ распределяются как $632$ и $633$.
   Ответ: 634.