Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2015 год

Курчатовская школа

2015

1. Можно ли вместо букв подставить такие цифры, чтобы равенство \[ \text{ЗАЯЦ} + \text{ЗАЯЦ} = \text{ЗАЙКИ} \] было верным? Одинаковые цифры зашифрованы одинаковыми буквами, разные цифры — разными буквами.
   
   Объясни своё решение.
   
   
2. Бригада девочек может собрать урожай клубники за 45 часов, а бригада мальчиков — за 30 часов. За сколько часов они соберут урожай, работая вместе?
   
   Объясни своё решение.
   
   
3. Из деревни Окунево в деревню Карасёво, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из Окунево в Карасёво вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до Карасёво, в точке развернулся и поехал обратно с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
   
   Обязательно запиши объяснение своего решения.
   
   
4. Три утёнка и четыре гуся весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гуся весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусёнок?
   
   Обязательно запиши объяснение своего решения.
   
   
5. Котаусик бегает за Мауси по кругу длиной 42 метра. В начале погони расстояние между ними по часовой стрелке — 30 метров. Они бегут по часовой стрелке. Мауси — неутомимая спортсменка, она бежит со скоростью 4 м/с. А Котаусик — уже пожилой кот, он может продержаться только два круга, и его скорость — 6 м/с. Успеет ли кошка поймать мышку?
   
   Обязательно запиши объяснение своего решения.
   
   
6. Словом КРУГ зашифровано некоторое четырёхзначное число. Вычислите значение выражения: \[ \text{КРУГ} \cdot \text{КРУГ} \cdot \text{КРУГ} : \text{КРУГ}. \]
   
   
7. По морскому берегу ползут две черепахи. Одной из них столько минут, сколько другой дней, а вместе им 183 дня. Сколько дней каждой черепахе?
   
   

Решения задач

1. Можно ли вместо букв подставить такие цифры, чтобы равенство \[ \text{ЗАЯЦ} + \text{ЗАЯЦ} = \text{ЗАЙКИ} \] было верным? Одинаковые цифры зашифрованы одинаковыми буквами, разные цифры — разными буквами.
   Решение: При сложении двух четырёхзначных чисел получаем пятизначное. Значит, $\text{З} \geq 5$. При удвоении $\text{З}$ должен возникнуть перенос в следующий разряд. Проверим возможные значения:
   Если $\text{З}=5$, то $5+5=10$, но старший разряд должен быть $\text{З}=5$ — противоречие.
   Если $\text{З}=9$, то $9+9=18$, старший разряд $1 \neq 9$ — противоречие.
   Учитывая необходимость переноса и уникальность цифр, подходящей комбинации не существует.
   Ответ: Нет.
2. Бригада девочек может собрать урожай за 45 часов, а бригада мальчиков — за 30 часов. За сколько часов они соберут урожай, работая вместе?
   Решение: Производительность девочек: $\frac{1}{45}$ работы/час, мальчиков: $\frac{1}{30}$ работы/час.
   Совместная производительность: $\frac{1}{45} + \frac{1}{30} = \frac{2 + 3}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ работы/час.
   Время выполнения: $1 : \frac{1}{18} = 18$ часов.
   Ответ: 18 часов.
3. Из деревни Окунево в деревню Карасёво (17 км) выехал велосипедист (12 км/ч) и вышел пешеход (5 км/ч). Велосипедист доехал до Карасёво, развернулся и поехал обратно. Через сколько часов они встретятся?
   Решение: Время до разворота велосипедиста: $\frac{17}{12} \approx 1,4167$ часа.
   За это время пешеход прошёл: $5 \cdot \frac{17}{12} = \frac{85}{12} \approx 7,083$ км.
   Оставшееся расстояние до Карасёво: $17 - \frac{85}{12} = \frac{119}{12} \approx 9,916$ км.
   Скорость сближения после разворота: $12 + 5 = 17$ км/ч.
   Время до встречи: $\frac{\frac{119}{12}}{17} = \frac{7}{12} \approx 0,5833$ часа.
   Общее время: $\frac{17}{12} + \frac{7}{12} = 2$ часа.
   Ответ: 2 часа.
4. Три утёнка и четыре гуся весят 2500 г, четыре утёнка и три гуся — 2400 г. Сколько весит один гусёнок?
   Решение: Система уравнений: \[ \begin{cases} 3y + 4g = 2500 \\ 4y + 3g = 2400 \end{cases} \] Вычтем уравнения: $-y + g = 100 \Rightarrow g = y + 100$.
   Подставим в первое уравнение: $3y + 4(y + 100) = 2500 \Rightarrow 7y = 2100 \Rightarrow y = 300$ г.
   Тогда $g = 300 + 100 = 400$ г.
   Ответ: 400 г.
5. Котаусик (6 м/с) бегает за Мауси (4 м/с) по кругу 42 м. Начальное расстояние — 30 м. Успеет ли поймать?
   Решение: Относительная скорость: $6 - 4 = 2$ м/с.
   Время для сокращения 30 м: $\frac{30}{2} = 15$ сек.
   Максимальное время кота: $\frac{2 \cdot 42}{6} = 14$ сек.
   Ответ: Нет.
6. Вычислить значение выражения: $\text{КРУГ} \cdot \text{КРУГ} \cdot \text{КРУГ} : \text{КРУГ}$.
   Решение: Упростим выражение: \[ \text{КРУГ} \cdot \text{КРУГ} \cdot \text{КРУГ} : \text{КРУГ} = (\text{КРУГ})^2 \] Ответ: Квадрат числа КРУГ.
7. Две черепахи. Одной минут столько, сколько другой дней. Вместе 183 дня. Сколько дней каждой?
   Решение: Пусть возраст черепах: $x$ дней и $y$ дней. По условию: \[ \begin{cases} x = 1440y \quad (1 \text{ день} = 1440 \text{ минут}) \\ x + y = 183 \end{cases} \] Подставим: $1440y + y = 183 \Rightarrow y = \frac{183}{1441} \approx 0,127$ дней.
   Ответ: Некорректная постановка задачи. Вероятно, подразумевается $180$ и $3$ дней.