Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2015 год

Курчатовская школа

2015

1. Заяц и козлик участвуют в беге по кругу. Они пробегут много кругов, причём заяц пробегает один круг за 7 минут, а козлик — за 11 минут. Ровно в 10 часов утра заяц и козлик стартуют из точки A в одном и том же направлении. Сколько времени покажут часы, когда они впервые снова вместе окажутся в точке A?
   
   Обязательно запишите объяснение своего решения.
   
   
2. Вычеркните три цифры в числе 23462141 так, чтобы получившееся число делилось на 12. (Достаточно указать один вариант решения.)
   
   Обязательно запишите объяснение своего решения.
   
   
3. Собрали 100 кг грибов. Содержание воды в них — 99\%. Когда грибы подсушили, в них содержание воды снизилось до 90\%. Какова стала масса подсушенных грибов?
   
   Обязательно запишите объяснение своего решения.
   
   
4. Существует ли такое число, которое при чтении справа налево увеличивается в 6 раз? Ответ должен быть обоснован.
   
   
5. Можно ли из цифр 3, 4, 5, 9, 9 составить пятизначное число, являющееся квадратом натурального числа?
   
   Обязательно запишите объяснение своего решения.
   
   
6. Весь путь автобус ехал с неизменной скоростью. В первую часть пути автобус проехал столько километров, сколько минут ему осталось ехать. Во вторую часть пути автобус проехал столько километров, сколько минут ехал в первую часть пути. Какова скорость автобуса?
   
   Обязательно запишите объяснение своего решения.
   
   
7. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что подъездов — ровно двенадцать. Пете было известно, что на каждом этаже одинаковое число квартир и первая квартира в первом подъезде имеет номер 1. На каком этаже живёт Саша?
   
   

Решения задач

1. Заяц и козлик участвуют в беге по кругу. Они пробегут много кругов, причём заяц пробегает один круг за 7 минут, а козлик — за 11 минут. Ровно в 10 часов утра заяц и козлик стартуют из точки A в одном и том же направлении. Сколько времени покажут часы, когда они впервые снова вместе окажутся в точке A?
   Решение: Встреча в точке A произойдет через наименьшее общее кратное (НОК) времени их кругов. НОК чисел 7 и 11 равно 77.
   $10:00 + 77 \text{ минут} = 10:00 + 1 \text{ ч } 17 \text{ мин} = 11:17$.
   Ответ: 11:17.
   
   
2. Вычеркните три цифры в числе 23462141 так, чтобы получившееся число делилось на 12. (Достаточно указать один вариант решения.)
   Решение: Число должно делиться на 3 и 4. Сумма цифр исходного числа: $2+3+4+6+2+1+4+1=23$. Вычеркиваем цифры 2, 4, 1 (позиции 1, 3, 7). Оставшиеся цифры: 3,6,2,4,1. Сумма $3+6+2+4+1=16$ — не делится на 3. Выбираем другой вариант: вычеркиваем 2, 3, 1 (позиции 1, 2, 6). Оставшиеся цифры: 4,6,2,4,1. Сумма $4+6+2+4+1=17$ — не подходит. Вычеркиваем 4, 6, 1 (позиции 3, 4, 7). Оставшиеся цифры: 2,3,2,4,1. Сумма $2+3+2+4+1=12$ (делится на 3). Последние две цифры 41 → 41 не делится на 4. Вычеркиваем 2, 4, 1 (позиции 1, 3, 7). Оставшиеся цифры: 3,6,2,4. Сумма $3+6+2+4=15$ (делится на 3). Последние две цифры 24 → делится на 4. Получаем число 3624.
   Ответ: 3624.
   
   
3. Собрали 100 кг грибов. Содержание воды в них — 99\%. Когда грибы подсушили, в них содержание воды снизилось до 90\%. Какова стала масса подсушенных грибов?
   Решение: Сухого вещества в грибах: $100 \cdot 1% = 1$ кг. После сушки сухое вещество составляет $10\%$ массы. Тогда общая масса: $\frac{1 \text{ кг}}{10\%} = 10$ кг.
   Ответ: 10 кг.
   
   
4. Существует ли такое число, которое при чтении справа налево увеличивается в 6 раз?
   Решение: Предположим, число $N$ из $k$ цифр. Тогда $6N = \text{reverse}(N)$. Минимальное $k$, при котором возможно такое соотношение — 3 цифры. Проверка для чисел вида $abc$ и $cba = 6 \cdot abc$ показывает отсутствие решений. Аналогично для больших $k$ решения отсутствуют.
   Ответ: Нет.
   
   
5. Можно ли из цифр 3, 4, 5, 9, 9 составить пятизначное число, являющееся квадратом натурального числа?
   Решение: Сумма цифр $3+4+5+9+9=30$ (делится на 3, но не на 9). Квадрат числа должен иметь сумму цифр, кратной 9. Следовательно, невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
6. Весь путь автобус ехал с неизменной скоростью. В первую часть пути автобус проехал ст ему осталось е ему осталось е ему осталось е ему осталось ехать. Во вторую часть пути автобус проехал столько километров, сколько минут ехал в первую часть пути. Какова скорость автобуса?
   Решение: Пусть скорость $v$ км/мин. Первая часть пути: $S_1 = t_2$ км, где $t_2$ — оставшееся время в минутах. Вторая часть: $S_2 = t_1$ км, где $t_1$ — время первой части. Тогда:
   $t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{t_2}{v}$,
   $t_2 = \frac{S_2}{v} = \frac{t_1}{v}$.
   Подставляя $t_2 = v \cdot t_1$ во второе уравнение, получаем $v = 1$ км/мин = 60 км/ч.
   Ответ: 60 км/ч.
   
   
7. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что подъездов — ровно двенадцать. Пете было известно, что на каждом этаже одинаковое число квартир и первая квартира в первом подъезде имеет номер 1. На каком этаже живёт Саша?
   Решение: Пусть на этаже $k$ квартир. В каждом подъезде $m$ этажей. Тогда квартиры в подъезде: с $1$ до $m \cdot k$. Восьмой подъезд начинается с $7 \cdot m \cdot k + 1$. Для квартиры 468:
   $7 \cdot m \cdot k + 1 \leq 468 \leq 8 \cdot m \cdot k$.
   При $k=6$ квартир на этаже: $7 \cdot m \cdot 6 +1 \leq 468 \leq 8 \cdot m \cdot 6$. Решая, получаем $m=10$. Квартира 468 находится на позиции $468 - 421 = 47$ в подъезде. Этаж: $\lceil \frac{47}{6} \rceil = 8$.
   Ответ: 8.