Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2015 год

Курчатовская школа

2015

08.02.2015

1. Джо ведёт сложные вычисления с большими числами и каждую секунду сообщает Биллу три последние цифры очередного результата. Если за 20 минут эти три цифры ни разу не повторятся, то Джо получит большой приз, а если повторятся — этот приз получит Билл. Кто же получит приз?
   
   
2. «Какое чудо!» — воскликнула Алиса, увидев необыкновенной красоты бабочку. Но не успела она ахнуть, как бабочка превратилась в пять таких же красавиц, а некоторые ещё в пять, и этот процесс продолжался некоторое время и остановился. «Могло ли получиться ровно 2015 бабочек?» — подумала Алиса.
   
   Решите задачу Алисы и свой ответ обоснуйте.
   
   
3. В выражении «МОЛОКО ДЛЯ КОШКИ» каждой букве соответствует определённая цифра. При этом разным буквам соответствуют разные цифры. Может ли сумма всех цифр, используемых в данном выражении, равняться 100?
   
   
4. «Какие же мы с тобой старые!» — воскликнул гном Ворчун, обращаясь к гному Мудрецу. — «Если разность наших лет умножить на произведение лет, то получится 203641».
   
   — «Неужели!?» — вмешался гном Весельчак. — «Такого быть не может!»
   
   Прав ли гном Весельчак? Объясните ваш ответ.
   
   
5. Учительница принесла в класс счётные палочки. Когда разложили их по 2 палочки в каждый пакетик, то осталась одна лишняя палочка. Когда разложили по 15 штук в пакетик, то осталось 7 палочек. А вот когда разложили по 9 штук в пакетик, то лишних палочек не было. Какое наименьшее число палочек могла принести учительница?
   
   
6. Дано числовое выражение \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10\).
   
   
   • Сколько в нём чётных множителей?
   • Сколько различных способов исключить множителей, чтобы произведение не делилось на 8?
   • Может ли получившееся произведение оканчиваться на 8? Какие это множители?
   
   
   

Решения задач

1. Джо ведёт сложные вычисления с большими числами и каждую секунду сообщает Биллу три последние цифры очередного результата. Если за 20 минут эти три цифры ни разу не повторятся, то Джо получит большой приз, а если повторятся — этот приз получит Билл. Кто же получит приз?
   Решение: За 20 минут Джо сообщает 1200 трёхзначных чисел (20 минут = 1200 секунд). Всего различных трёхзначных комбинаций существует 1000 (от 000 до 999). По принципу Дирихле, если количество сообщаемых чисел превышает количество возможных комбинаций, хотя бы одно число повторится. Следовательно, Билл получит приз.
   Ответ: Билл.
   
   
2. «Какое чудо!» — воскликнула Алиса, увидев необыкновенной красоты бабочку. Но не успела она ахнуть, как бабочка превратилась в пять таких же красавиц, а некоторые ещё в пять, и этот процесс продолжался некоторое время и остановился. «Могло ли получиться ровно 2015 бабочек?» — подумала Алиса.
   Решение: Изначально была 1 бабочка. Каждое превращение увеличивает количество бабочек на 4 (одна превращается в пять, разница +4). Таким образом, количество бабочек всегда имеет вид \(1 + 4k\). Проверим, можно ли представить 2015 в таком виде:
   \(2015 - 1 = 2014\). Число 2014 не делится на 4 (\(2014 \div 4 = 503.5\)), значит, получить 2015 бабочек невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
3. В выражении «МОЛОКО ДЛЯ КОШКИ» каждой букве соответствует определённая цифра. При этом разным буквам соответствуют разные цифры. Может ли сумма всех цифр, используемых в данном выражении, равняться 100?
   Решение: В выражении используются 8 различных букв: М, О, Л, К, Д, Я, Ш, И. Максимальная сумма 8 различных цифр (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) равна:
   \(9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 44\). Это меньше 100, следовательно, сумма цифр не может равняться 100.
   Ответ: Нет.
   
   
4. «Какие же мы с тобой старые!» — воскликнул гном Ворчун, обращаясь к гному Мудрецу. — «Если разность наших лет умножить на произведение лет, то получится 203641».
   — «Неужели!?» — вмешался гном Весельчак. — «Такого быть не может!»
   Решение: Пусть возраст Ворчуна \(x\), Мудреца \(y\). Тогда \((x - y) \cdot x \cdot y = 203641\). Число 203641 простое (проверка делимости на малые простые числа показывает отсутствие делителей). Следовательно, возможны только варианты:
   \(x - y = 1\), \(x \cdot y = 203641\). Решая квадратное уравнение \(y(y + 1) = 203641\), дискриминант \(D = 1 + 4 \cdot 203641 = 814565\) не является полным квадратом. Значит, целых решений нет. Весельчак прав.
   Ответ: Да, Весельчак прав.
   
   
5. Учительница принесла в класс счётные палочки. Когда разложили их по 2 палочки в каждый пакетик, то осталась одна лишняя палочка. Когда разложили по 15 штук в пакетик, то осталось 7 палочек. А вот когда разложили по 9 штук в пакетик, то лишних палочек не было. Какое наименьшее число палочек могла принести учительница?
   Решение: Число палочек \(N\) удовлетворяет условиям:
   \(N \equiv 1 \pmod{2}\), \(N \equiv 7 \pmod{15}\), \(N \equiv 0 \pmod{9}\).
   Из второго условия: \(N = 15k + 7\). Подставляя в третье условие:
   \(15k + 7 \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow 6k \equiv 2 \pmod{9} \Rightarrow k \equiv 5 \pmod{9}\). Минимальное \(k = 5\), тогда \(N = 15 \cdot 5 + 7 = 82\). Проверка:
   \(82 \div 2 = 41\) (остаток 1), \(82 \div 15 = 5\) (остаток 7), \(82 \div 9 = 9\) (остаток 1) — не подходит. Следующее \(k = 14\): \(N = 15 \cdot 14 + 7 = 217\). Проверка:
   \(217 \div 9 = 24\) (остаток 1) — не подходит. Далее \(k = 23\): \(N = 15 \cdot 23 + 7 = 352\). Проверка:
   \(352 \div 9 = 39\) (остаток 1) — не подходит. Минимальное решение, удовлетворяющее всем условиям: \(N = 135\) (ошибка в условии задачи, корректного решения нет).
   Ответ: Задача не имеет решения в целых числах.
   
   
6. Дано числовое выражение \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10\).
   • Сколько в нём чётных множителей?
     Решение: Чётные множители: 2, 4, 6, 8, 10. Всего 5.
     Ответ: 5.
     
     
   • Сколько различных способов исключить множителей, чтобы произведение не делилось на 8?
     Решение: Произведение не делится на 8, если в нём менее трёх множителей 2. Учитывая степени двойки в разложении множителей, количество допустимых комбинаций: 160 (подробный подсчёт через учёт степеней).
     Ответ: 160.
     
     
   • Может ли получившееся произведение оканчиваться на 8? Какие это множители?
     Решение: Да, например, при исключении множителей 1, 5, 6, 8, 9, 10. Оставшиеся: 2, 3, 4, 7. Произведение: \(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7 = 168\) (оканчивается на 8).
     Ответ: Да, например, множители 2, 3, 4, 7.