Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2014 год

Курчатовская школа

2014

1. В саду у Кая и Герды росло 2014 кустов роз. Кай полил половину всех кустов, и Герда полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно 7 кустов, самых красивых, были политы и Каем, и Гердой. Сколько розовых кустов не полили?
   
   
2. Полина и Ксюша решили устроить гонки из пункта A в пункт B на самокатах. Они стартовали одновременно. Полина ехала половину своего времени со скоростью 10 км/ч, а другую половину со скоростью 8 км/ч. Ксюша проехала весь путь со скоростью 9 км/ч. Кто приехал раньше в пункт B?
   
   
3. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 38 лет, а самому младшему — 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть люди одного возраста?
   
   
4. Максим принёс папе свой распорядок дня: \[ \frac{1}{3} \text{ времени — игра с компьютером, } \quad \frac{1}{5} \text{ — учёба в школе, } \quad \frac{1}{6} \text{ — приготовление уроков, } \quad \frac{1}{3} \text{ — спорт.} \] «Нет, сынок, так жить нельзя» — сказал папа и отправил Максима менять распорядок. Почему же папа не согласился с сыном?
   
   
5. В нашем классе каждый мальчик дружит ровно с четырьмя девочками, а каждая девочка дружит ровно с пятью мальчиками. Кого у нас в классе больше: девочек или мальчиков?
   
   
6. В пятидесяти коробках лежат книги: в первой — одна, во второй — две, в третьей — три и так далее, в пятидесятой — 50 книг. За один ход разрешается в любую две коробки добавить по одной и той же новой книге. Можно ли за несколько ходов сделать так, чтобы во всех коробках было поровну книг?
   
   
7. От прямоугольника отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От оставшейся части прямоугольника снова отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне. После третьего отреза остался квадрат со стороной 5 см. Какие размеры мог иметь первоначальный прямоугольник?
   
   

Решения задач

1. В саду у Кая и Герды росло 2014 кустов роз. Кай полил половину всех кустов, и Герда полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно 7 кустов, самых красивых, были политы и Каем, и Гердой. Сколько розовых кустов не полили?
   Решение: Кай полил $\frac{2014}{2} = 1007$ кустов, Герда также полила 1007 кустов. По формуле включений-исключений общее количество политых кустов:
   $1007 + 1007 - 7 = 2007$.
   Неполитых кустов: $2014 - 2007 = 7$.
   Ответ: 7.
2. Полина и Ксюша решили устроить гонки из пункта A в пункт B на самокатах. Они стартовали одновременно. Полина ехала половину своего времени со скоростью 10 км/ч, а другую половину со скоростью 8 км/ч. Ксюша проехала весь путь со скоростью 9 км/ч. Кто приехал раньше в пункт B?
   Решение: Пусть общее время Полины — $t$ часов. Тогда путь Полины:
   $10 \cdot \frac{t}{2} + 8 \cdot \frac{t}{2} = 9t$ км.
   Время Ксюши: $\frac{9t}{9} = t$ часов.
   Ответ: приехали одновременно.
3. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 38 лет, а самому младшему — 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть люди одного возраста?
   Решение: Возрастов от 20 до 38 лет включительно: $38 - 20 + 1 = 19$ вариантов. По принципу Дирихле, при 20 туристах минимум двое имеют одинаковый возраст.
   Ответ: да, верно.
4. Максим принёс папе свой распорядок дня: \[ \frac{1}{3} \text{ времени — игра с компьютером, } \quad \frac{1}{5} \text{ — учёба в школе, } \quad \frac{1}{6} \text{ — приготовление уроков, } \quad \frac{1}{3} \text{ — спорт.} \] «Нет, сынок, так жить нельзя» — сказал папа и отправил Максима менять распорядок. Почему же папа не согласился с сыном?
   Решение: Сумма долей времени:
   $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{10 + 6 + 5 + 10}{30} = \frac{31}{30} > 1$.
   Ответ: сумма частей превышает целое (сутки).
5. В нашем классе каждый мальчик дружит ровно с четырьмя девочками, а каждая девочка дружит ровно с пятью мальчиками. Кого у нас в классе больше: девочек или мальчиков?
   Решение: Пусть мальчиков — $M$, девочек — $D$. Общее число дружб:
   $4M = 5D \implies \frac{M}{D} = \frac{5}{4}$.
   Ответ: мальчиков больше.
6. В пятидесяти коробках лежат одна, одна, одна, во второй — две, в третьей — три и так далее, в пятидесятой — 50 книг. За один ход разрешается в любую две коробки добавить по одной и той же новой книге. Можно ли за несколько ходов сделать так, чтобы во всех коробках было поровну книг?
   Решение: Изначальная сумма книг: $\frac{(1+50) \cdot 50}{2} = 1275$. После каждого хода добавляется 2 книги. Общее количество должно делиться на 50:
   $1275 + 2k \equiv 25 + 0 \mod 50$ — невозможно, так как 25 нечётное.
   Ответ: нет, нельзя.
7. От прямоугольника отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От оставшейся части прямоугольника снова отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне. После третьего отреза остался квадрат со стороной 5 см. Какие размеры мог иметь первоначальный прямоугольник?
   Решение: Рассмотрим обратный процесс:
   • После 3-го отреза: квадрат 5×5. Перед этим: прямоугольник 10×5.
   • После 2-го отреза: 10×5. Перед этим: прямоугольник 15×5.
   • После 1-го отреза: 15×5. Первоначально: 20×5.
   Альтернативный вариант:
   • После 3-го отреза: квадрат 5×5. Перед этим: прямоугольник 5×10.
   • После 2-го отреза: 5×10. Перед этим: прямоугольник 15×10.
   • После 1-го отреза: 15×10. Первоначально: 25×10.
   Ответ: 20 см × 5 см или 25 см × 10 см.