8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2014 год

Сложность:
Дата экзамена: 04.2014
Печать
youit.school ©

Курчатовская школа


2014


24.04.2014



  1. В семье Колмогоровых папа старше мамы на 10\%, но младше дедушки на 20\%. На сколько процентов мама младше дедушки?

  2. Словом КОМПЬЮТЕР зашифровано некоторое число, причём разным буквам соответствуют разные цифры. Известно, что дробь \[ \frac{1189}{\text{КОМПЬЮТЕР}} \] правильная. Найти остаток от деления числа «КОМПЬЮТЕР» на 9.

  3. Чтобы испечь 100 блинов, маме требуется 30 минут, а бабушке — 40 минут. Федя готов съесть 100 блинов за час. Мама с бабушкой пекут блины без остановки, а Федя непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно 100 блинов?

  4. Три четверти класса любят стихи Пушкина. Две трети класса любят стихи Лермонтова. И нет ни одного человека в этом классе, который не любит стихов ни того, ни другого. Какая часть класса любит стихи обоих поэтов?

  5. В записи натурального числа использованы только 10 единиц, 10 двоек и 10 нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?

  6. Катя задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, на 6 и на 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найти:

    1. все возможные полученные остатки;
    2. остаток от деления задуманного числа на 18.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В семье Колмогоровых папа старше мамы на 10\%, но младше дедушки на 20\%. На сколько процентов мама младше дедушки?
    Решение: Пусть возраст мамы равен $M$. Тогда возраст папы составляет $1,1M$. Возраст дедушки равен $\frac{1,1M}{0,8} = 1,375M$. Разница между возрастом дедушки и мамы: $1,375M - M = 0,375M$, что составляет $37,5\%$ от возраста мамы.
    Ответ: 37,5\%.

  2. Словом КОМПЬЮТЕР зашифровано некоторое число, причём разным буквам соответствуют разные цифры. Известно, что дробь \[ \frac{1189}{\text{КОМПЬЮТЕР}} \] правильная. Найти остаток от де «КОМП «КОМПЬЮТЕР» на 9.
    Решение: Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Поскольку дробь $\frac{1189}{\text{КОМПЬЮТЕР}}$ правильная, сумма цифр числителя (1+1+8+9=19) должна давать тот же остаток при делении на 9, что и сумма цифр знаменателя. Остаток от 19 на 9 равен 1. Следовательно, остаток от деления числа «КОМПЬЮТЕР» на 9 равен 1.
    Ответ: 1.

  3. Чтобы испечь 100 блинов, маме требуется 30 минут, а бабушке — 40 минут. Федя готов съесть 100 блинов за час. Мама с бабушкой пекут блины без остановки, а Федя непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно 100 блинов?
    Решение: Скорость выпечки мамы: $\frac{100}{30} = \frac{10}{3}$ блинов/мин. Бабушки: $\frac{100}{40} = \frac{5}{2}$ блинов/мин. Скорость поедания Феди: $\frac{100}{60} = \frac{5}{3}$ блинов/мин. Общая скорость накопления блинов: $\frac{10}{3} + \frac{5}{2} - \frac{5}{3} = \frac{25}{6}$ блинов/мин. Время для накопления 100 блинов: $100 : \frac{25}{6} = 24$ минуты.
    Ответ: 24 минуты.

  4. Три четверти класса любят стихи Пушкина. Две трети класса любят стихи Лермонтова. И нет ни одного человека в этом классе, который не любит стихов ни того, ни другого. Какая часть класса любит стихи обоих поэтов?
    Решение: По формуле включений-исключений: $\frac{3}{4} + \frac{2}{3} - 1 = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} - \frac{12}{12} = \frac{5}{12}$ класса.
    Ответ: $\frac{5}{12}$.

  5. В записи натурального числа использованы только 10 единиц, 10 двоек и 10 нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?
    Решение: Сумма цифр числа: $10 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 10 \cdot 0 = 30$. Остаток от деления на 9 равен $30 \mod 9 = 3$. Квадраты чисел при делении на 9 дают остатки 0, 1, 4, 7. Поскольку 3 не входит в этот список, число не может быть квадратом.
    Ответ: Нет.

  6. Катя задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, на 6 и на 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найти:
    1. все возможные полученные остатки;
    2. остаток от деления задуманного числа на 18.

    Решение:
    1. Пусть остатки при делении на 3, 6, 9 — $r_1$, $r_2$, $r_3$ соответственно. Тогда $r_1 \in \{0,1,2\}$, $r_2 \in \{0,1,2,3,4,5\}$, $r_3 \in \{0,1,2,...,8\}$. При этом $r_2 \equiv r_1 \mod 3$ и $r_3 \equiv r_1 \mod 3$. Максимальная сумма $r_1 + r_2 + r_3 = 15$ достигается при $r_1=2$, $r_2=5$, $r_3=8$.
      Ответ: 2, 5, 8.

    2. Число можно представить как $a = 9k + 8$. Также $a = 6m + 5$, откуда $9k + 8 \equiv 5 \mod 6 \Rightarrow k \equiv 1 \mod 2$. Тогда $a = 9(2t+1) + 8 = 18t + 17$. Остаток от деления на 18 равен 17.
      Ответ: 17.
правильная. Найти остаток от деления числа «КОМПЬЮТЕР» на 9.

  • Чтобы испечь 100 блинов, маме требуется 30 минут, а бабушке — 40 минут. Федя готов съесть 100 блинов за час. Мама с бабушкой пекут блины без остановки, а Федя непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно 100 блинов?

  • Три четверти класса любят стихи Пушкина. Две трети класса любят стихи Лермонтова. И нет ни одного человека в этом классе, который не любит стихов ни того, ни другого. Какая часть класса любит стихи обоих поэтов?

  • В записи натурального числа использованы только 10 единиц, 10 двоек и 10 нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?

  • Катя задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, на 6 и на 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найти:

    1. все возможные полученные остатки;
    2. остаток от деления задуманного числа на 18.
    • Материалы школы Юайти