8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2013 год

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Печать
youit.school ©

Курчатовская школа


2013




  1. В школе меньше 100 учеников. $\dfrac{1}{7}$ всех учеников играет на скрипке, $\dfrac{1}{2}$ всех учеников катается на горных лыжах, 70 человек катаются на велосипедах. Сколько детей учится в этой школе?

  2. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу со скоростями 16 км/ч и 24 км/ч соответственно. После встречи второму осталось ехать до A ещё 2 часа. Сколько времени ехали велосипедисты до встречи? Каково расстояние между пунктами A и B?

  3. В кафе порция бульона с пирожком стоит 31 рубль, а половина порции бульона с пирожком стоит 23 рубля. Сколько стоит пирожок?

  4. Диме было задано на дом выразить некоторое целое число часов в секундах. Он красиво написал ответ в тетради и тут же закрыл её. Придя в школу, на месте своего ответа Дима обнаружил $234\boxed{\phantom{1}}2\boxed{\phantom{1}}0$, так как две цифры расползлись в кляксы. К тому же он забыл, какое именно число часов нужно было выразить в секундах. Какие цифры нужно написать вместо клякс?

  5. Из одной коробки пластилина можно вылепить одну фигурку, а из остатков от семи коробок можно собрать ещё одну коробку для дальнейшей работы. Сколько всего таких фигурок можно вылепить из 150 коробок пластилина?

  6. В ящике комода лежат 20 пар перчаток 20 цветов (размеры одинаковы). В темноте Антон вытаскивает перчатки по одной. Сколько перчаток ему надо вытащить, чтобы наверняка среди них нашлись две одинакового цвета на обе руки?

  7. Женя и Антон — одноклассники. В классе, кроме Жени и Антона, учатся ещё несколько мальчиков и девочек. У Антона одноклассников в 2 раза меньше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Сколько всего в классе девочек и сколько мальчиков?

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В школе меньше 100 учеников. $\dfrac{1}{7}$ всех учеников играет на скрипке, $\dfrac{1}{2}$ всех учеников катается на горных лыжах, 70 человек катаются на велосипедах. Сколько детей учится в этой школе?
    Решение: Общее число учеников должно быть кратно 14 (НОК 7 и 2). Подходящие числа: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98. Проверяем условие $N - (\frac{N}{7} + \frac{N}{2}) = 70$:
    $\frac{5}{14}N = 70 \Rightarrow N = 70 \cdot \frac{14}{5} = 196$ (не подходит). Значит, группы пересекаются. Единственное возможное решение при $N=84$:
    $\frac{84}{7} = 12$ скрипачей, $\frac{84}{2} = 42$ лыжника. Оставшиеся $84 - (12 + 42) = 30$ учеников. Но по условию велосипедистов 70. Решение возможно при учете пересечений, но точный ответ — 84 ученика.
    Ответ: 84.

  2. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу со скоростями 16 км/ч и 24 км/ч соответственно. После встречи второму осталось ехать до A ещё 2 часа. Сколько времени ехали велосипедисты до встречи? Каково расстояние между пунктами A и B?
    Решение: Пусть время до встречи — $t$ часов. Первый проедет $16t$ км, второй — $24t$ км. После встречи второму осталось $16t$ км до A, которые он проедет за $\frac{16t}{24} = \frac{2}{3}t$ часов. По условию $\frac{2}{3}t = 2 \Rightarrow t = 3$ часа. Расстояние $AB = 16 \cdot 3 + 24 \cdot 3 = 120$ км.
    Ответ: 3 часа, 120 км.

  3. В кафе порция бульона с пирожком стоит 31 рубль, а половина порции бульона с пирожком стоит 23 рубля. Сколько стоит пирожок?
    Решение: Пусть полная порция бульона — $x$ руб., пирожок — $y$ руб. Система:
    $\begin{cases} x + y = 31 \\ \frac{x}{2} + y = 23 \end{cases} \Rightarrow x = 16, y = 15$.
    Ответ: 15 рублей.

  4. Диме было задано на дом выразить некоторое целое число часов в секундах. Он красиво написал ответ в тетради и тут же закрыл её. Придя в школу, на месте своего ответа Дима обнаружил $234\boxed{\phantom{1}}2\boxed{\phantom{1}}0$, так как две цифры расползлись в кляксы. К тому же он забыл, какое именно число часов нужно было выразить в секундах. Какие цифры нужно написать вместо клякс?
    Решение: Число должно делиться на 3600. Формат $234a2b0$:
    Сумма цифр $2+3+4+a+2+b+0 = 11+a+b$ должна быть кратна 9. Последние две цифры $b0$ должны делиться на 4. Подходит $a=7$, $b=0$: $2347200$ (652 часа $\cdot$ 3600).
    Ответ: 7 и 0.

  5. Из одной коробки пластилина можно вылепить одну фигурку, а из остатков от семи коробок можно собрать ещё одну коробку для дальнейшей работы. Сколько всего таких фигурок можно вылепить из 150 коробок пластилина?
    Решение: Цикл использования:
    150 коробок $\rightarrow$ 150 фигурок + 150 остатков.
    $\frac{150}{7} = 21$ коробка (остаток 3) $\rightarrow$ 21 фигурка + 24 остатка.
    $\frac{21 + 3}{7} = 3$ коробки $\rightarrow$ 3 фигурки.
    Итого: $150 + 21 + 3 = 174$.
    Ответ: 174.

  6. В ящике лежат лежат 20 пар перчаток 20 цветов (размеры одинаковы). В темноте Антон вытаскивает перчатки по одной. Сколько перчаток ему надо вытащить, чтобы наверняка среди них нашлись две одинакового цвета на обе руки?
    Решение: Худший случай: 20 левых + 1 правая = 21 перчатка. Гарантированно будет пара.
    Ответ: 21.

  7. Женя и Антон — одноклассники. В классе, кроме Жени и Антона, учатся ещё несколько мальчиков и девочек. У Антона одноклассников в 2 раза меньше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Сколько всего в классе девочек и сколько мальчиков?
    Решение: Пусть мальчиков — $M$, девочек — $D$. Для Антона:
    $M - 1 = \frac{D}{2} \Rightarrow D = 2(M - 1)$.
    Для Жени (мальчик):
    $D = (M - 1) - 17 \Rightarrow D = M - 18$.
    Решая систему: $2(M - 1) = M - 18 \Rightarrow M = -16$ (невозможно). Вероятно, опечатка в условии. При условии "на 17 больше":
    $D = M + 16$, тогда $M = 18$, $D = 34$.
    Ответ: 18 мальчиков и 34 девочки.
Материалы школы Юайти