Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2013 год

1. В классе учеников не меньше 20, но не больше 25. А мальчиков больше, чем девочек. К новому году каждый мальчик написал каждой девочке по одной поздравительной открытке, и все девочки вместе получили 54 открытки. Сколько девочек в классе?
2. Некоторое число зашифровано словом АПЕЛЬСИНЧИК, при этом одинаковым цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным цифрам — разные буквы. Определите, какая цифра заменена буквой «И», если сумма цифр числа равна 54.
3. Антошка копал картошку. Всего было 5 кустов и росли они в одном ряду. От каждого куста Антошка имел хотя бы один клубень, а у любых двух соседних кустов количество картофелин отличалось на 13. Какое самое маленькое количество картофелин мог иметь Антошка?
4. В комбинации цифр 2014201420142 вычеркните 6 цифр так, чтобы получилась запись наибольшее из возможных шестизначных чисел.
5. Обычно папа приезжает за Костей на машине и окончание занятия скрипки и они сразу же уезжают домой. Однако в этот день урок закончился раньше, и Костя пошел по дороге навстречу маме, через 14 минут встретив его, он также поехал на папиной машине домой и приехали на 6 минут раньше обычного времени. На сколько минут раньше закончились занятие?
6. На экране компьютера записаны все натуральные числа без пропусков от 1 до 1000. Сначала Петя удалил те из них, которые делятся на 7. Затем Надя удалила все такие числа, которые делятся на 11. Сколько чисел удалила Надя? Сколько чисел после этого осталось на экране?

Решения задач

1. В классе учеников не меньше 20, но не больше 25. А мальчиков больше, чем девочек. К новому году каждый мальчик написал каждой девочке по одной поздравительной открытке, и все девочки вместе получили 54 открытки. Сколько девочек в классе?
   Решение: Пусть количество девочек равно \(d\), мальчиков — \(m\). Значит, \(m > d\), а также \(20 \leq m + d \leq 25\). Каждый мальчик написал \(d\) открыток, поэтому общее количество открыток равно \(m \cdot d = 54\). Разложим 54 на множители: \(54 = 18 \cdot 3\). Здесь \(m = 18\), \(d = 3\). Проверим: \(18 + 3 = 21\), что удовлетворяет условию, и \(18 > 3\).
   Ответ: 3.
2. Некоторое число зашифровано словом АПЕЛЬСИНЧИК, при этом одинаковым цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным цифрам — разные буквы. Определите, какая цифра заменена буквой «И», если сумма цифр числа равна 54.
   Решение: Всего 10 букв, сумма цифр равна 54. Сумма всех цифр от 0 до 9 равна 45. Одна буква («И») повторяется дважды. Пусть цифра «И» — \(x\). Тогда сумма цифр: \(45 - a + 2x = 54\), где \(a\) — цифра, заменённая на \(x\). Уравнение: \(2x - a = 9\). Подходит \(x = 5\) (тогда \(a = 1\), так как \(2 \cdot 5 - 1 = 9\)).
   Ответ: 5.
3. Антошка копал картошку. Всего было 5 кустов и росли они в одном ряду. От каждого куста Антошка имел хотя бы один клубень, а у любых двух соседних кустов количество картофелин отличалось на 13. Какое самое маленькое количество картофелин мог иметь Антошка?
   Решение: Минимальные значения чередуются между 1 и 14 (разность 13). Последовательность: 1, 14, 1, 14, 1. Сумма: \(1 + 14 + 1 + 14 + 1 = 31\).
   Ответ: 31.
4. В комбинации цифр 2014201420142 вычеркните 6 цифр так, чтобы получилась запись наибольшее из возможных шестизначных чисел.
   Решение: Максимальное число получим, выбирая четырёхзначные группы с наибольшими цифрами: 4 (3-я позиция), 4 (7-я позиция), 2 (8-я), 4 (11-я), 1 (10-я), 2 (12-я). Ответ: 4424142.
   Ответ: 4424142.
5. Обычно папа приезжает за Костей на машине сразу после окончания занятия скрипки, и они сразу уезжают домой. Однако в этот день урок закончился раньше, и Костя пошёл по дороге навстречу папе, через 14 минут встретив его, он также поехал на папиной машине домой и приехали на 6 минут раньше обычного времени. На сколько минут раньше закончилось занятие?
   Решение: Пусть обычно папа тратит \(D\) минут на дорогу от дома до школы. Экономия времени 6 минут означает, что опасения Косты уменьшили путь на 6 минут. За 14 минут ходьбы Костя сэкономил путь папе в сторону дома. Разница времени: \(x = 14 + 6 = 20\) минут.
   Ответ: 20.
6. На экране компьютера записаны все натуральные числа без пропусков от 1 до 1000. Сначала Петя удалил те из них, которые делятся на 7. Затем Надя удалила все такие числа, которые делятся на 11. Сколько чисел удалила Надя? Сколько чисел после этого осталось на экране?
   Решение:
   Числа, кратные 11: \(\left\lfloor\frac{1000}{11}\right\rfloor = 90\). Из них кратные и 7, и 11 (77): \(\left\lfloor\frac{1000}{77}\right\rfloor = 12\). Числа, удалённые Надей: \(90 - 12 = 78\).
   Количество чисел после удаления Петей: \(1000 - \left\lfloor\frac{1000}{7}\right\rfloor = 1000 - 142 = 858\). После Нади: \(858 - 78 = 780\).
   Ответ: Надя удалила 78 чисел, осталось 780 чисел.