Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2009 год

Курчатовская олимпиада. 2008/2009

1. Геологи нашли 23 ценных камня массами 1 кг, 2 кг, …, 23 кг. Как разложить эти камни по 12 рюкзакам так, чтобы в каждом был одинаковый груз? Запиши свои рассуждения.
   
   
   
2. Пять девочек отправляют с мобильного телефона 5 сообщений за 5 минут. Известно, что все девочки отправляют сообщение с одинаковой скоростью. Сколько девочек отправят 10 сообщений за 10 минут? Запиши свои рассуждения.
   
   
   
3. Бабушке с внучкой 78 лет. При этом внучке столько месяцев, сколько лет бабушке. Сколько лет бабушке и сколько лет внучке? Обязательно запиши объяснение к решению.
   
   
   
4. Почтальон Печкин половину пути от дома до почты проехал на велосипеде, но его велосипед сломался, и дальше он пошёл пешком. На путь от дома до почты он затратил 30 минут. Весь обратный путь он прошёл пешком за 50 минут. Сколько времени затратил бы почтальон Печкин на путь в оба конца на велосипеде? Не забудь записать объяснение.
   
   
   
5. В лесу растут 2009 деревьев четырёх видов: берёза, сосна, осина, рябина. Каждого вида не меньше, чем 10 деревьев. Сосен и осин вместе 1271 дерево, берёз — больше всех деревьев. Сколько берёз в этом лесу? Обязательно запиши объяснение к решению.
   
   
   
6. Каждый из семи гномов подарил Белоснежке орехи: кто-то по 3, а кто-то по 5. Могла ли Белоснежка получить: a) ровно 30 орехов? b) ровно 45 орехов? Обязательно запиши свои рассуждения.

Решения задач

1. Геологи нашли 23 ценных камня массами 1 кг, 2 кг, …, 23 кг. Как разложить эти камни по 12 рюкзакам так, чтобы в каждом был одинаковый груз?
   Решение: Общая масса камней равна арифметической прогрессии от 1 до 23:
   $\frac{(1 + 23) \cdot 23}{2} = 276$ кг.
   Каждый рюкзак должен содержать $\frac{276}{12} = 23$ кг.
   Пример распределения:
   23; 22+1; 21+2; 20+3; 19+4; 18+5; 17+6; 16+7; 15+8; 14+9; 13+10; 12+11.
   Ответ: Вариант разложения есть, например, как указано выше.
2. Пять девочек отправляют с мобильного телефона 5 сообщений за 5 минут. Сколько девочек отправят 10 сообщений за 10 минут?
   Решение: 5 девочек за 5 минут — 5 сообщений ⇒ каждая девочка отправляет 1 сообщение за 5 минут.
   Для отправки 10 сообщений за 10 минут требуется $10 : (10 : 5) = 5$ девочек (так как в 10 минут каждая девочка отправит 2 сообщения).
   Ответ: 5 девочек.
3. Бабушке с внучкой 78 лет. Внучке столько месяцев, сколько лет бабушке. Сколько лет бабушке и внучке?
   Решение: Пусть бабушке $B$ лет, тогда внучке $\frac{B}{12}$ лет.
   Уравнение: $B + \frac{B}{12} = 78$
   $\frac{13B}{12} = 78 \Rightarrow B = \frac{78 \cdot 12}{13} = 72$ года (бабушке).
   Внучке $72 : 12 = 6$ лет.
   Ответ: Бабушке 72 года, внучке 6 лет.
4. Почтальон Печкин половину пути проехал на велосипеде, затем шёл пешком. На путь туда затратил 30 минут, обратно пешком — 50 минут. Сколько времени занял бы путь туда и обратно на велосипеде?
   Решение: Пусть расстояние в одну сторону $S$. На дорогу туда:
   $\frac{S}{2v} + \frac{S}{2u} = 30$ минут (где $v$ — скорость велосипеда, $u$ — пешком).
   Обратно пешком: $S = u \cdot 50 \Rightarrow u = \frac{S}{50}$.
   Подставим в первое уравнение:
   $\frac{S}{2v} + \frac{S}{2 \cdot \frac{S}{50}} = 30 \Rightarrow \frac{S}{2v} + 25 = 30 \Rightarrow \frac{S}{2v} = 5 \Rightarrow \frac{S}{v} = 10$ минут (в одну сторону).
   На велосипеде оба пути займут $2 \cdot 10 = 20$ минут.
   Ответ: 20 минут.
5. В лесу 2009 деревьев четырёх видов: берёза, сосна, осина, рябина. Сосен и осин вместе 1271. Берёз — больше всех. Сколько берёз?
   Решение: Берёз и рябин $2009 - 1271 = 738$.
   Каждого вида ≥10 деревьев. Чтобы берёз было больше всех:
   Берёзы > 1271−728 = 543 (неподходит).
   Минимальная рябина:10 ⇒ берёз 738−10=728.
   Проверка: 728 > 1271−728 (если сосен и осин поровну: 635,5). Условие выполняется.
   Ответ: 728 берёз.
6. 1. Могла ли Белоснежка получить ровно 30 орехов?
      Решение: Пусть $x$ гномов подарили по 3 ореха, $y$ — по 5:
      $\begin{cases} x + y = 7 \\ 3x + 5y = 30 \end{cases}$
      Решение: $y = 7 - x$. Подставляем:
      $3x + 5(7 - x) = 30 \Rightarrow -2x + 35 = 30 \Rightarrow x = 2,5$ → нецелое.
      Ответ: Нет.
   2. Могла ли Белоснежка получить ровно 45 орехов?
      Решение: Аналогично:
      $3x + 5(7 - x) = 45 \Rightarrow -2x + 35 = 45 \Rightarrow x =-5$. Невозможно.
      Ответ: Нет.