Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2009 год

1. Между некоторыми цифрами числа 88888888 вставьте знаки + так, чтобы в результате сложения получилось число 1000.
2. Заполните знаки * цифрами так, чтобы полученное равенство стало верным 4*+**2=**01
3. На круговом маршруте работают два автобуса с интервалом движения 21минутa. Каким станет этот интервал, если к этим автобусам добавится еще один автобус?
4. Сможет ли Петя разложить по десяти карманам 44 ореха так, чтобы во всех карманах число орехов было различным?
5. После того, как Вася приписал к своему числу справа цифру 0, оно увеличилось на 306. Найдите начальное число.
6. На аллее растут березы и сосны так, что в промежутке между соседними двумя соснами растет ровно одна береза. Расстояние между соседними двумя деревьями равно 5 метров. Найдите расстояние от 5 сосны до 36-ой березы, если в этом ряду первой растет сосна.
7. Для того, чтобы выполнить нумерацию всех страниц в книжке потребовалось ровно 2052 цифры. Найдите количество страниц в этой книжке.

Решения задач

1. Между некоторыми цифрами числа 88888888 вставьте знаки + так, чтобы в результате сложения получилось число 1000.
   Решение: Один из возможных вариантов:
   $888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000$
   Проверка: $888 + 88 = 976$, $8 + 8 + 8 = 24$, $976 + 24 = 1000$.
   Ответ: $888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000$.
2. Заполните знаки * цифрами так, чтобы полученное равенство стало верным: $4* + **2 = **01$.
   Решение: Подставляем цифры:
   $49 + 952 = 1001$
   Проверка: $49 + 952 = 1001$, последние цифры: $9 + 2 = 11$ (окончание 1), $4 + 5 + 1 = 10$ (окончание 0), $9 + 1 = 10$.
   Ответ: $49 + 952 = 1001$.
3. На круговом маршруте работают два автобуса с интервалом движения 21 минута. Каким станет этот интервал, если к этим автобусам добавится еще один автобус?
   Решение: Полный круг автобусы проходят за $21 \cdot 2 = 42$ минуты. С тремя автобусами интервал составит $\frac{42}{3} = 14$ минут.
   Ответ: 14 минут.
4. Сможет ли Петя разложить по десяти карманам 44 ореха так, чтобы во всех карманах число орехов было различным?
   Решение: Минимальная сумма различных чисел (включая ноль): $0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45$. Так как $45 > 44$, то невозможно.
   Ответ: Нет.
5. После того, как Вася приписал к своему числу справа цифру 0, оно увеличилось на 306. Найдите начальное число.
   Решение: Пусть исходное число — $x$. После приписывания нуля получаем $10x$. Разность:
   $10x - x = 306$
   $9x = 306$
   $x = \frac{306}{9} = 34$
   Ответ: 34.
6. На аллее растут березы и сосны так, что в промежутке между соседними двумя соснами растет ровно одна береза. Расстояние между соседними двумя деревьями равно 5 метров. Найдите расстояние от 5-й сосны до 36-й березы, если в этом ряду первой растет сосна.
   Решение: Порядок деревьев: С (1), Б (2), С (3), Б (4), ..., 5-я сосна на позиции $2 \cdot 5 - 1 = 9$, 36-я береза на позиции $2 \cdot 36 = 72$. Количество промежутков: $72 - 9 = 63$. Расстояние: $63 \cdot 5 = 315$ метров.
   Ответ: 315 метров.
7. Для того, чтобы выполнить нумерацию всех страниц в книжке потребовалось ровно 2052 цифры. Найдите количество страниц в этой книжке.
   Решение: Страницы 1-9: 9 цифр; 10-99: 90 $\cdot$ 2 = 180 цифр. Остаток: $2052 - 189 = 1863$ цифры. Трехзначные страницы: $\frac{1863}{3} = 621$ страница. Общее количество: $99 + 621 = 720$.
   Ответ: 720.