Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2009 год

Олимпиада по математике Курчатовской школы 2009 год

1. Между некоторыми цифрами числа 88888888 вставьте знаки + так, чтобы в результате сложения получилось число 1000.
2. Заполните знаки * цифрами так, чтобы полученное равенство стало верным 4*+**2=**01
3. На круговом маршруте работают два автобуса с интервалом движения 21 минута. Каким станет этот интервал, если к этим автобусам добавится еще один автобус?
4. Сможет ли Петр разложить по десяти карманам 44 ореха так, чтобы во всех карманах число орехов было различным?
5. После того, как Вася приписал к своему числу справа цифру 0, оно увеличилось на 306. Найдите начальное число.
6. На аллее растут березы и сосны так, что в промежутке между соседними двумя соснами растет ровно одна береза. Расстояние между соседними двумя деревьями равно 5 метров. Найдите расстояние от 5 сосны до 36-й березы, если в этом ряду первой растет сосна.
7. Для того, чтобы выполнить нумерацию всех страниц в книжке потребовалось ровно 2052 цифры. Найдите количество страниц в этой книжке.

Решения задач

1. Между некоторыми цифрами числа 88888888 вставьте знаки + так, чтобы в результате сложения получилось число 1000.
   Решение: Группируем цифры следующим образом:
   $8 + 8 + 8 + 88 + 888 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888 = 1000$
   Ответ: $8 + 8 + 8 + 88 + 888 = 1000$.
2. Заполните знаки * цифрами так, чтобы полученное равенство стало верным $4*+**2=**01$.
   Решение:
   Пусть первое слагаемое — $49$, второе — $952$. Тогда:
   $49 + 952 = 1001$
   Проверим: $4\underline{9} + \underline{9}\underline{5}2 = \underline{10}01$
   Ответ: $49 + 952 = 1001$.
3. На круговом маршруте работают два автобуса с интервалом движения 21 минута. Каким станет этот интервал, если к этим автобусам добавится еще один автобус?
   Решение: Время полного круга автобуса: $21 \cdot 2 = 42$ минуты. После добавления третьего автобуса интервал станет $\frac{42}{3} = 14$ минут.
   Ответ: 14 минут.
4. Сможет ли Петр разложить по десяти карманам 44 ореха так, чтобы во всех карманах число орехов было различным?
   Решение: Минимальная сумма различного количества орехов в 10 карманах: $0+1+2+\dots+9 = 45$ орехов. Так как $44 < 45$, такое распределение невозможно.
   Ответ: Нет.
5. После того, как Вася приписал к своему числу справа цифру 0, оно увеличилось на 306. Найдите начальное число.
   Решение: Приписав ноль, число умножается на 10. Пусть исходное число — $x$, тогда:
   $10x - x = 306 \Rightarrow 9x = 306 \Rightarrow x = 34$
   Ответ: 34.
6. На аллее растут березы и сосны так, что в промежутке между соседними двумя соснами растет ровно одна береза. Расстояние между соседними двумя деревьями равно 5 метров. Найдите расстояние от 5-й сосны до 36-й березы, если в этом ряду первой растет сосна.
   Решение: Расположение деревьев: С, Б, С, Б, ..., где нечётные позиции — сосны, чётные — березы.
   5-я сосна занимает позицию $2\cdot5 -1 = 9$, 36-я берёза — позицию $2\cdot36 =72$.
   Расстояние между деревьями: $(72 -9 -1) \cdot 5 =62 \cdot 5 = 310$ метров.
   Ответ: 310 метров.
7. Для того, чтобы выполнить нумерацию всех страниц в книжке потребовалось ровно 2052 цифры. Найдите количество страниц в этой книжке.
   Решение:
   Страницы 1-9: $9$ цифр.
   Страницы 10-99: $90 \cdot 2 = 180$ цифр. Всего до 99 страницы: $9 + 180 = 189$ цифр.
   Трёхзначные страницы: $(2052 - 189) :3 =621$ страница.
   Общее количество страниц: $9 + 90 + 621 = 720$ страниц.
   Ответ: 720 страниц.