Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2008 год

Курчатовская олимпиада. 2007/2008

1. В Южной Америке есть круглое озеро, где 1 июня каждого года в центре озера появляется цветок Виктории Регии (стебель поднимается со дна, а лепестки лежат на воде, как у кувшинки). Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, и 1 июля он, наконец, покрывает всё озеро, лепестки осыпаются, семена опускаются на дно. Какого числа площадь цветка составляет половину площади озера? Запиши свои рассуждения.
2. И услышала Золушка бой часов. Первые шесть ударов прозвучали за 10 секунд. А сколько времени займут 12 ударов Королевских часов? Запиши свои рассуждения.
3. У четвероклассника Васи сестёр на 2 больше, чем братьев. На сколько у его родителей больше дочерей, чем сыновей? Запиши свои рассуждения.
4. У Буратино не хватило для покупки букваря 99 копеек, а у Пьеро — одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег опять не хватило. Сколько стоил букварь? Запиши свои рассуждения.
5. В семье пять голов и четырнадцать ног, и живут в этой семье люди и собаки. Сколько в семье людей и сколько собак? Запиши свои рассуждения.
6. Течёт река из города Верхний в город Нижний со скоростью 2 км/ч. На рассвете Вася и Петя поплыли на лодке: Вася — из Верхнего в Нижний, а Петя — из Нижнего в Верхний. В полдень друзья встретились. Во сколько в этот день был рассвет, если расстояние от Верхнего до Нижнего 60 км, а скорость обоих мальчиков в стоячей воде — по 5 км/ч? Запиши свои рассуждения.
7. Продавец фруктов торговал яблоками и апельсинами. Просил он за яблоки по 3 р. 70 коп. за пару, а за апельсины по 6 р. 75 коп. за три штуки. Но потом он решил, что больше получит, если поставит цену 2 р. за каждый фрукт. Прав ли продавец? (Известно, что яблоки и апельсины пользуются одинаковым спросом у покупателей.) Запиши свои рассуждения.
8. В языке племени юмбо все слова состоят из четырёх букв, а букв у этого племени тоже всего четыре. Словом в племени юмбо считается любая комбинация этих букв, и встречаются слова, в которые одна и та же буква используется неоднократно. Сколько всего слов у людей племени юмбо? Запиши свои рассуждения.

Решения задач

1. В Южной Америке есть круглое озеро, где 1 июня каждого года в центре озера появляется цветок Виктории Регии. Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, и 1 июля он покрывает всё озеро. Какого числа площадь цветка составляет половину площади озера?
   Решение: Последний день цветок покрывает всё озеро, значит за сутки до этого (30 июня) его площадь была вдвое меньше — половина озера.
   Ответ: 30 июня.
   
   
2. И услышала Золушка бой часов. Первые шесть ударов прозвучали за 10 секунд. Сколько времени займут 12 ударов Королевских часов?
   Решение: Между шестью ударами пять интервалов по $\frac{10}{5} = 2$ секунды. Для 12 ударов будет 11 интервалов: $11 \cdot 2 = 22$ секунды.
   Ответ: 22 секунды.
   
   
3. У четвероклассника Васи сестёр на 2 больше, чем братьев. На сколько у его родителей больше дочерей, чем сыновей?
   Решение: Пусть братьев у Васи $b$, тогда сестёр $(b + 2)$. У родителей сыновей $(b + 1)$ (включая Васю) и дочерей $(b + 2)$. Разность: $(b + 2) - (b + 1) = 1$.
   Ответ: на 1.
   
   
4. У Буратино не хватило для покупки букваря 99 копеек, у Пьеро — одной копейки. Они сложились, но денег опять не хватило. Сколько стоил букварь?
   Решение: Пусть цена букваря $x$ коп. Тогда у Буратино $(x - 99)$ коп., у Пьеро $(x - 1)$ коп. Сумма: $(x - 99) + (x - 1) = 2x - 100$. Условие $2x - 100 < x \Rightarrow x < 100$. При этом стоимость должна быть не менее 99 коп., так как у Буратино сумма неотрицательная. Ответ: $x = 99$ коп.
   Ответ: 99 копеек.
   
   
5. В семье пять голов и четырнадцать ног. Сколько людей и собак?
   Решение: Пусть $l$ — люди (2 ноги), $s$ — собаки (4 ноги).
   Система уравнений: $\begin{cases} l + s = 5 \\ 2l + 4s = 14 \end{cases}$
   Решение: $l = 3$, $s = 2$.
   Ответ: 3 человека, 2 собаки.
   
   
6. Вася и Петя плывут навстречу. Скорость течения 2 км/ч, скорость в стоячей воде 5 км/ч. Расстояние 60 км. Встретились в полдень. Найти время рассвета.
   Решение: Скорость Васи вниз: $5 + 2 = 7$ км/ч, Пети вверх: $5 - 2 = 3$ км/ч. Время до встречи: $t$ часов. Путь до встречи: $7t + 3t = 60 \Rightarrow t = 6$ часов. Рассвет был в $12:00 - 6 = 6:00$.
   Ответ: В 6:00.
   
   
7. Продавец меняет цену с пары яблок за 3,70 руб. и трёх апельсинов за 6,75 руб. на 2 руб. за штуку. Прав ли продавец?
   Решение: Старая цена яблока $\frac{3,70}{2} = 1,85$ руб., апельсина $\frac{6,75}{3} = 2,25$ руб. При продаже за 2 руб. яблоки дорожают, апельсины дешевеют. Проверим выручку для 2 яблок и 3 апельсинов: $3,70 + 6,75 = 10,45$ руб. против $(2 + 3) \cdot 2 = 10$ руб. Продавец не прав.
   Ответ: Нет, неправ.
   
   
8. В языке племени юмбо слова из четырёх букв, букв — четыре. Сколько всего слов?
   Решение: Каждая из четырёх позиций может быть занята любой из четырёх букв, повторения разрешены. Всего комбинаций: $4^4 = 256$.
   Ответ: 256.