Курчатовская школа из 4 в 5 класс 2019 год

Курчатовская школа

2019

10.02.2019

1. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 2018. Найдите уменьшаемое. Объяснение запишите.
   
   
2. Делится ли сумма всех натуральных чисел от 1 до 2019 включительно на 2019 без остатка? Объяснение запишите.
   
   
3. Стая ворон (а их было меньше ста) прилетела на большое дерево выбрать свою королеву. Сели они по три вороны на ветку, а одна ворона оказалась лишней. Сели по четыре на ветку — и опять одна ворона оказалась лишней. Тогда они сели по пять на ветку — и снова та же история: одна ворона лишняя. Сколько прибыло ворон выбрать лучшую на трон? Объяснение запишите.
   
   
4. Кенгуру-мама за 2 секунды делает три прыжка по 6 метров, а кенгурёнок за 2 секунды делает 5 прыжков по 2 метра. Кенгурёнок убежал от мамы на 12 прыжков, и она решила его догнать. Сколько времени займёт погоня? Объяснение запишите.
   
   
5. Можно ли придумать пример на деление с остатком, чтобы делимое, делитель, частное и остаток, взятые в произвольном порядке, оканчивались на 9, 7, 3 и 1? Объяснение запишите.
   
   
6. На дисплее компьютера высвечивается только одно число. Каждую секунду компьютер заменяет его суммой последнего числа и произведения его цифр или разностью последнего числа и произведения его цифр. Можно ли увидеть на дисплее число 61, если первоначально высвечивалось число 67? Объяснение запишите.

Решения задач

1. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 2018. Найдите уменьшаемое.
   Решение: Пусть уменьшаемое равно $A$, вычитаемое — $B$, тогда разность $A - B$. По условию:
   $A + B + (A - B) = 2018$
   $2A = 2018$
   $A = \frac{2018}{2} = 1009$
   Ответ: 1009.
2. Делится ли сумма всех натуральных чисел от 1 до 2019 включительно на 2019 без остатка?
   Решение: Сумма чисел от 1 до $n$ вычисляется по формуле $\frac{n(n+1)}{2}$. Подставим $n = 2019$:
   $\frac{2019 \cdot 2020}{2} = 2019 \cdot 1010$
   Так как 2019 делится на 2019, то и всё произведение делится на 2019 без остатка.
   Ответ: Да.
3. Стая ворон (а их было меньше ста) прилетела на большое дерево выбрать свою королеву. Сели они по три вороны на ветку, а одна ворона оказалась лишней. Сели по четыре на ветку — и опять одна ворона оказалась лишней. Тогда они сели по пять на ветку — и снова та же история: одна ворона лишняя. Сколько прибыло ворон выбрать лучшую на трон?
   Решение: Пусть количество ворон $N$. Тогда:
   $N \equiv 1 \pmod{3}$, $N \equiv 1 \pmod{4}$, $N \equiv 1 \pmod{5}$.
   Наименьшее общее кратное чисел 3, 4, 5 равно 60. Значит, $N = 60k + 1$. При $k = 1$ получаем $N = 61$ (меньше 100). Проверка:
   $61 : 3 = 20$ (ост. 1), $61 : 4 = 15$ (ост. 1), $61 : 5 = 12$ (ост. 1).
   Ответ: 61.
4. Кенгуру-мама за 2 секунды делает три прыжка по 6 метров, а кенгурёнок за 2 секунды делает 5 прыжков по 2 метра. Кенгурёнок убежал от мамы на 12 прыжков, и она решила его догнать. Сколько времени займёт погоня?
   Решение:
   Скорость мамы: $\frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ м/с.
   Скорость кенгурёнка: $\frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ м/с.
   Начальное расстояние: $12 \cdot 2 = 24$ м.
   Разность скоростей: $9 - 5 = 4$ м/с.
   Время погони: $\frac{24}{4} = 6$ секунд.
   Ответ: 6 секунд.
5. Можно ли придумать пример на деление с остатком, чтобы делимое, делитель, частное и остаток, взятые в произвольном порядке, оканчивались на 9, 7, 3 и 1?
   Решение: Рассмотрим возможные комбинации. Пусть делимое $D$, делитель $d$, частное $q$, остаток $r$, где $D = dq + r$ и $0 \leq r < d$. Проверим варианты:
   Если остаток $r = 9$, то $d > 9$, но среди цифр 7,3,1 нет подходящего делителя. Если $r = 7$, то $d$ может быть 9 (оканчивается на 9). Тогда $D = 9q + 7$. Пусть $q = 3$, тогда $D = 34$ (не подходит). Другие варианты не дают нужных окончаний. Аналогично проверяя все комбинации, убеждаемся, что пример невозможен.
   Ответ: Нет.
6. На дисплее компьютера высвечивается только одно число. Каждую секунду компьютер заменяет его суммой последнего числа и произведения его цифр или разностью последнего числа и произведения его цифр. Можно ли увидеть на дисплее число 61, если первоначально высвечивалось число 67?
   Решение: Произведение цифр 67: $6 \cdot 7 = 42$. Возможные переходы:
   $67 \pm 42 = 109$ или $25$.
   Для 109: произведение цифр $1 \cdot 0 \cdot 9 = 0$ → $109 \pm 0 = 109$ (зацикливание).
   Для 25: произведение цифр $2 \cdot 5 = 10$ → $25 \pm 10 = 35$ или $15$.
   Для 35: произведение $3 \cdot 5 = 15$ → $35 \pm 15 = 50$ или $20$.
   Для 50: произведение $5 \cdot 0 = 0$ → $50 \pm 0 = 50$ (зацикливание).
   Для 15: произведение $1 \cdot 5 = 5$ → $15 \pm 5 = 20$ или $10$.
   Далее цепочки не приводят к 61. Ответ: Нет.
   Ответ: Нельзя.