Курчатовская школа из 3 в 4 класс 2019 год

\Large{Курчатовская школа}\\ \large{2019}\\ \large{20.04.2019} \begin{enumerate} \item Дедушка собрал коллекцию интересных книг и решил подарить её четырём внукам. Старшему внуку Ване он вручил половину всех книг, затем внучке Ане — половину оставшихся книг, следующему за ней Паше — половину того, что осталось после Ани. И, наконец, последние 7 книг дедушка подарил самому маленькому внуку Славику. Сколько книг дедушка отдал внукам? \textit{Запишите объяснение.} \item У Мити 115 орехов. Он решил раздать их пятнадцати белкам так, чтобы никакие две не получили орехов поровну и каждой белке досталось не меньше одного ореха. Сможет ли он это сделать? \textit{Запишите объяснение.} \item Перемножили 12 натуральных чисел и получили 12. Чему равна сумма этих чисел? \textit{Запишите объяснение.} \item В высотном здании лифт поднимается с первого этажа на восьмой за 16 секунд. За сколько секунд лифт поднимется с девятого на тринадцатый этаж? \textit{Запишите объяснение.} \item В олимпиаде по математике принимали участие меньше 500 человек. Шестая часть из них приехала из города А, седьмая часть — из города Б, пятая часть — из города В. Дипломы призёров и победителей получила десятая часть всех участников. Сколько человек получили дипломы? \textit{Запишите объяснение.} \item Когда Боря вышел в догонку за Витей, расстояние между ними было 900 метров. Одновременно с Борей выбежала собака. Добежав до Вити, она тут же повернула обратно и побежала навстречу Боре. Встретив Борю, она снова повернула обратно. Собака бегала бесконечно между Витей и Борей до тех пор, пока Боря не догнал Витю. Известно, что скорость Вити — 45 м/мин, скорость Бори — 75 м/мин, а собаки — 150 м/мин. Какой путь проделала собака к тому времени, когда Боря догнал Витю? \textit{Запишите объяснение.} \item В словах «КОТ МУРЫЛЬКА» одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Известно, что среднее арифметическое этих цифр делится на 25. Найдите сумму цифр. \textit{Запишите объяснение.} \end{enumerate}

Решения задач

1. Дедушка собрал коллекцию интересных книг и решил подарить её четырём внукам. Старшему внуку Ване он вручил половину всех книг, затем внучке Ане — половину оставшихся книг, следующему за ней Паше — половину того, что осталось после Ани. И, наконец, последние 7 книг дедушка подарил самому маленькому внуку Славику. Сколько книг дедушка отдал внукам?
   Решение: Будем решать с конца. Славику досталось 7 книг — это остаток после Паши. Перед этим у Паши было:
   После Паши осталось $\frac{1}{2}$ книг $\Rightarrow 7$ книг — это вторая половина. Значит, перед Пашей было $7 \cdot 2 = 14$ книг.
   Перед Аней осталось $\frac{1}{2}$ книг $\Rightarrow 14$ книг — это вторая половина. Значит, перед Аней было $14 \cdot 2 = 28$ книг.
   Перед Ваней $\frac{1}{2}$ книг $\Rightarrow 28$ книг — это вторая половина. Значит, изначально было $28 \cdot 2 = 56$ книг.
   Ответ: 56.
2. У Мити 115 орехов. Он решил раздать их пятнадцати белкам так, чтобы никакие две не получили орехов поровну и каждой белке досталось не меньше одного ореха. Сможет ли он это сделать?
   Решение: Минимальное количество орехов для 15 белок с разным числом орехов:
   $1 + 2 + 3 + ... + 15 = \frac{(1+15) \cdot 15}{2} = 120$ орехов.
   У Мити только 115 орехов, что на 5 меньше минимальной суммы. Уменьшение любого количества нарушит условие уникальности или минимального размера.
   Ответ: Нет.
3. Перемножили 12 натуральных чисел и получили 12. Чему равна сумма этих чисел?
   Решение: Разложим 12 на 12 множителей:
   $12 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6$ (10 единиц, 2 и 6).
   Сумма: $10 \cdot 1 + 2 + 6 = 18$.
   Другой вариант: $12 = 1^{11} \cdot 12$ $\Rightarrow$ сумма $11 \cdot 1 + 12 = 23$ (больше 18).
   Минимальная сумма достигается при использовании множителей 1, 2, 6.
   Ответ: 18.
4. В высотном здании лифт поднимается с первого этажа на восьмой за 16 секунд. За сколько секунд лифт поднимется с девятого на тринадцатый этаж?
   Решение: Между 1 и 8 этажом 7 пролетов. Время одного пролета:
   $\frac{16}{7}$ сек/пролет.
   С 9 на 13 этаж — 4 пролета:
   $4 \cdot \frac{16}{7} = \frac{64}{7} \approx 9,14$ сек.
   Ответ: $\frac{64}{7}$ сек (≈9,14 сек).
5. В олимпиаде по математике принимали участие меньше 500 человек. Шестая часть из них приехала из города А, седьмая часть — из города Б, пятая часть — из города В. Дипломы призёров и победителей получила десятая часть всех участников. Сколько человек получили дипломы?
   Решение: Общее число участников должно делиться на 6, 7, 5 и 10. Наименьшее общее кратное (НОК):
   НОК(6,7,5,10) = 210. Ближайшее кратное меньше 500: 210 и 420.
   Проверяем 420: $\frac{420}{10} = 42$ диплома.
   Ответ: 42.
6. Когда Боря вышел в догонку за Витей, расстояние между ними было 900 метров. Одновременно с Борей выбежала собака. Добежав до Вити, она тут же повернула обратно и побежала навстречу Боре. Встретив Борю, она снова повернула обратно. Собака бегала бесконечно между Витей и Борей до тех пор, пока Боря не догнал Витю. Известно, что скорость Вити — 45 м/мин, скорость Бори — 75 м/мин, а собаки — 150 м/мин. Какой путь проделала собака к тому времени, когда Боря догнал Витю?
   Решение: Время до встречи Бори и Вити:
   $\frac{900}{75 - 45} = 30$ мин.
   Путь собаки: $150 \cdot 30 = 4500$ м.
   Ответ: 4500 м.
7. В словах «КОТ МУРЫЛЬКА» одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными буквами — разные цифры. Известно, что среднее арифметическое этих цифр делится на 25. Найдите сумму цифр.
   Решение: Уникальные буквы: К, О, Т, М, У, Р, Ы, Л, Ь, А (10 букв). Буква К повторяется.
   Сумма цифр: $0+1+2+...+9 + K = 45 + K$.
   Среднее арифметическое: $\frac{45 + K}{11}$ должно делиться на 25. Единственный возможный вариант: $K=5$, тогда сумма $45+5=50$, среднее $\frac{50}{11} \approx4,55$ (условие не выполняется).
   Вероятно, ошибка в условии. Если предположить, что сумма цифр делится на 25, то $45 + K =50$ $\Rightarrow K=5$.
   Ответ: 50.