КГУ Лицей №2 из 8 в 9 класс 2014 год (вариант 4)
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ №2 Г. КАРАГАНДЫ
2014 год
Вариант 4
- Вычислите:
- \(\displaystyle \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} \;-\; \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2}.\)
- \(\displaystyle 0{,}8\,\sqrt{3\frac{4}{64}} \;-\; \frac{1}{4}\,\sqrt{5{,}76} \;+\; \frac{1}{3}\,\sqrt{0{,}000081}.\)
- Упростите выражение:
- \(\displaystyle \frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} \;-\; \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}}.\)
- \(\displaystyle \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \;-\; \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} \;-\; \frac{2a^2 - 4ab}{a - b}.\)
- Решите уравнения:
- \(\displaystyle \frac{2}{x + 3} \;-\; \frac{x}{x - 3} \;=\; \frac{4x}{x^2 - 9}.\)
- \(\displaystyle (2x - 1)^4 \;-\; (4x^2 - 4x + 1) \;-\; 12 \;=\; 0.\)
- \(\displaystyle \frac{\lvert 3x + 2\rvert + x + 2}{x + 3} \;=\; 1.\)
- Найдите область допустимых значений выражения
\[
\frac{x}{\sqrt{5} - 2x}
\;+\;
\sqrt{4(x - 2)}
\;+\;
3.
\]
- Решите неравенства:
- \(\displaystyle \frac{(x - 2)(x - 1)^2(x + 3)}{(x - 2)^3} \;\ge\; 0.\)
- \(\displaystyle 2x^2 - 3x - 2 \;>\; 0.\)
- Решите задачу.
Теплоход прошёл 52 км по течению реки и вернулся обратно. При этом обратный путь занял на 3 мин больше, чем путь по течению. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
- Составьте квадратное уравнение с корнями \(-\tfrac12\) и \(\tfrac14\).
- Постройте график функции
\[
y = x^2 - 2\lvert x\rvert - 15.
\]
- Сумма кубов цифр двузначного числа в 12 раз больше суммы его цифр, а сумма квадратов — в 5 раз больше числа единиц. Найдите это число.
- В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 8, разность между гипотенузой и другим катетом равна 2. Найдите второй катет и гипотенузу.
- Один из углов равнобедренной трапеции равен 60\(^\circ\). Найдите площадь трапеции, если её основания равны 15 см и 7 см.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
-
- Вычислите:
\[
\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} - \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2}
\]
Решение:
\[
\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1
\]
\[
\sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}
\]
\[
\sqrt{2} - 1 - (2 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 3
\]
Ответ: \(2\sqrt{2} - 3\)
- Вычислите: \[ 0{,}8 \cdot \sqrt{3\frac{4}{64}} - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5{,}76} + \frac{1}{3} \cdot \sqrt{0{,}000081} \] Решение: \[ \sqrt{3\frac{4}{64}} = \sqrt{\frac{196}{64}} = \frac{14}{8} = 1{,}75 \] \[ 0{,}8 \cdot 1{,}75 = 1{,}4 \] \[ \sqrt{5{,}76} = 2{,}4 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4} \cdot 2{,}4 = 0{,}6 \] \[ \sqrt{0{,}000081} = 0{,}009 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} \cdot 0{,}009 = 0{,}003 \] \[ 1{,}4 - 0{,}6 + 0{,}003 = 0{,}803 \] Ответ: \(0{,}803\)
- Вычислите:
\[
\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} - \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2}
\]
Решение:
\[
\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1
\]
\[
\sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}
\]
\[
\sqrt{2} - 1 - (2 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 3
\]
Ответ: \(2\sqrt{2} - 3\)
- Упростите выражение:
- \(\displaystyle
\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} - \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}}
\)
Решение:
\[
\text{Пусть } t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2
\]
\[
\frac{t + 1}{t^3 + t^2 + t} - \frac{1}{t^4 - t} = \frac{t + 1}{t(t^2 + t + 1)} - \frac{1}{t(t^3 - 1)}
\]
\[
\text{Общий знаменатель: } t(t^2 + t + 1)(t - 1)
\]
\[
\frac{(t + 1)(t - 1) - 1}{t(t^2 + t + 1)(t - 1)} = \frac{t^2 - 2}{t(t^2 + t + 1)(t - 1)}
\]
Ответ: \(\frac{x - 2}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}\)
- \(\displaystyle \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} - \frac{2a^2 - 4ab}{a - b} \) Решение: \[ \text{Умножим первое слагаемое на } \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}, \text{ второе на } \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} \] \[ \text{После упрощений: } a + \sqrt{ab} - (\sqrt{ab} + a) - \frac{2a(a - 2b)}{a - b} = -2a \] Ответ: \(-2a\)
- \(\displaystyle
\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} - \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}}
\)
Решение:
\[
\text{Пусть } t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2
\]
\[
\frac{t + 1}{t^3 + t^2 + t} - \frac{1}{t^4 - t} = \frac{t + 1}{t(t^2 + t + 1)} - \frac{1}{t(t^3 - 1)}
\]
\[
\text{Общий знаменатель: } t(t^2 + t + 1)(t - 1)
\]
\[
\frac{(t + 1)(t - 1) - 1}{t(t^2 + t + 1)(t - 1)} = \frac{t^2 - 2}{t(t^2 + t + 1)(t - 1)}
\]
Ответ: \(\frac{x - 2}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}\)
- Решите уравнения:
- \(\displaystyle
\frac{2}{x + 3} - \frac{x}{x - 3} = \frac{4x}{x^2 - 9}
\)
Решение:
\[
2(x - 3) - x(x + 3) = 4x \quad \Rightarrow \quad x^2 + 5x + 6 = 0
\]
\[
x = -2 \quad (x = -3 \text{ не подходит})
\]
Ответ: \(-2\)
- \(\displaystyle
(2x - 1)^4 - (4x^2 - 4x + 1) - 12 = 0
\)
Решение:
\[
(2x - 1)^4 - (2x - 1)^2 - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 - t - 12 = 0 \quad (t = (2x - 1)^2)
\]
\[
t = 4 \Rightarrow (2x - 1)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}
\]
Ответ: \(\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}\)
- \(\displaystyle \frac{\lvert 3x + 2\rvert + x + 2}{x + 3} = 1 \) Решение: \[ \lvert 3x + 2\rvert = 1 \quad \Rightarrow \quad 3x + 2 = \pm1 \] \[ x = -\frac{1}{3}; -1 \] Ответ: \(-\frac{1}{3}; -1\)
- \(\displaystyle
\frac{2}{x + 3} - \frac{x}{x - 3} = \frac{4x}{x^2 - 9}
\)
Решение:
\[
2(x - 3) - x(x + 3) = 4x \quad \Rightarrow \quad x^2 + 5x + 6 = 0
\]
\[
x = -2 \quad (x = -3 \text{ не подходит})
\]
Ответ: \(-2\)
- Область определения:
\[
\frac{x}{\sqrt{5} - 2x} + \sqrt{4(x - 2)} + 3
\]
Решение:
\[
4(x - 2) \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \ge 2
\]
\[
\sqrt{5} - 2x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\sqrt{5}}{2} \quad (\approx 1{,}118 < 2)
\]
Ответ: \([2; +\infty)\)
- Решите неравенства:
- \(\displaystyle
\frac{(x - 2)(x - 1)^2(x + 3)}{(x - 2)^3} \ge 0
\)
Решение:
\[
\frac{(x - 1)^2(x + 3)}{(x - 2)^2} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-3; 2) \cup (2; +\infty)
\]
Ответ: \([-3; 2) \cup (2; +\infty)\)
- \(\displaystyle 2x^2 - 3x - 2 > 0 \) Решение: \[ x = 2; -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (2; +\infty) \] Ответ: \((-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (2; +\infty)\)
- \(\displaystyle
\frac{(x - 2)(x - 1)^2(x + 3)}{(x - 2)^3} \ge 0
\)
Решение:
\[
\frac{(x - 1)^2(x + 3)}{(x - 2)^2} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-3; 2) \cup (2; +\infty)
\]
Ответ: \([-3; 2) \cup (2; +\infty)\)
- Задача о теплоходе:
Решение:
\[
\frac{52}{x - 3} - \frac{52}{x + 3} = 0{,}05 \quad \Rightarrow \quad 6240 = x^2 - 9 \quad \Rightarrow \quad x = 79
\]
Ответ: \(79\) км/ч
- Квадратное уравнение:
\[
(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{4}) = 0 \quad \Rightarrow \quad 8x^2 + 2x - 1 = 0
\]
Ответ: \(8x^2 + 2x - 1 = 0\)
- График функции:
\[
y = x^2 - 2|x| - 15
\]
Ответ: График симметричен относительно оси \(y\), ветви направлены вверх. Вершины при \(x = \pm1\) (\(y = -16\)).
- Двузначное число:
Ответ: \(24\) (сумма кубов \(8 + 64 = 72 = 12 \cdot 6\), сумма квадратов \(4 + 16 = 20 = 5 \cdot 4\))
- Прямоугольный треугольник:
Решение:
\[
b = 15; \quad c = 17
\]
Ответ: Катет \(15\) см, гипотенуза \(17\) см
- Площадь трапеции: Решение: \[ h = 4\sqrt{3}; \quad S = \frac{(15 + 7)}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 44\sqrt{3} \] Ответ: \(44\sqrt{3}\) см\(^2\)
Материалы школы Юайти