КГУ Лицей №2 из 8 в 9 класс 2014 год (вариант 3)

ЛИЦЕЙ №2 Г. КАРАГАНДЫ

2014 год

Вариант 3

1. Вычислите:
   1. \[ \sqrt{\bigl(4 - \sqrt{13}\bigr)^2} \;-\; \sqrt{\bigl(5 - \sqrt{13}\bigr)^2}. \]
   2. \[ 0{,}9\;\sqrt{2{\frac{7}{81}}} \;-\; \frac12\,\sqrt{6{,}76} \;+\; \frac14\,\sqrt{0{,}000256}. \]
2. Упростите выражение:
   1. \[ \frac{\sqrt{x+2} \;-\; 8x} {\sqrt{x} \;-\;\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}} ,\quad x>4. \]
   2. \[ \frac{3xy}{x - y} \;-\; \frac{y^2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \;-\; \frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}. \]
3. Решите уравнения:
   1. \[ \frac{x}{x-1} \;-\; \frac{5}{x+1} \;=\; \frac{2}{x^2-1}. \]
   2. \[ (x + 2)^4 \;+\; 2x^2 \;+\; 8x \;-\; 16 \;=\; 0. \]
   3. \[ \frac{\lvert 3x + 2\rvert + x + 2}{x + 3} \;=\; 1. \]
4. Найдите область допустимых значений выражения \[ \frac{x}{\sqrt{7 - 3x}} \;+\; \sqrt{2(x+2)} \;+\; 3. \]
5. Решите неравенства:
   1. \[ \frac{(x - 5)(x - 3)^2(x - 1)^3}{x - 4} \;\le\; 0. \]
   2. \[ 4x^2 \;+\; 15x \;-\; 4 \;>\; 0. \]
6. Решите задачу. Теплоход проплыл 45~км по течению реки и 38~км против течения, затратив на весь путь 4~часа 15 минут. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 3~км/ч.
7. Составьте квадратное уравнение с корнями $\dfrac{3}{2}$ и $-\dfrac{1}{4}$.
8. Постройте график функции \[ y = x^2 \;-\; 5\lvert x\rvert \;+\; 6. \]
9. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 5. Найдите это число, если сумма квадратов его цифр равна 25.
10. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 39, разность между катетами равна 21. Найдите второй катет.
11. Один из углов равнобедренной трапеции равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 11 см, а высота равна $2\sqrt{3}$ см.

Решения задач

1. 1. \[ \sqrt{\bigl(4 - \sqrt{13}\bigr)^2} - \sqrt{\bigl(5 - \sqrt{13}\bigr)^2} = |4 - \sqrt{13}| - |5 - \sqrt{13}| \] \[ = (4 - \sqrt{13}) - (5 - \sqrt{13}) = 4 - \sqrt{13} - 5 + \sqrt{13} = -1 \] Ответ: $\boxed{-1}$
   2. \[ 0{,}9\;\sqrt{2{\frac{7}{81}}} = 0{,}9 \cdot \frac{13}{9} = 1{,}3 \] \[ \frac{1}{2}\sqrt{6{,}76} = 0{,}5 \cdot 2{,}6 = 1{,}3 \] \[ \frac{1}{4}\sqrt{0{,}000256} = 0{,}25 \cdot 0{,}016 = 0{,}004 \] \[ 1{,}3 - 1{,}3 + 0{,}004 = 0{,}004 \] Ответ: $\boxed{0{,}004}$
2. 1. \[ \frac{\sqrt{x+2} - 8x}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}} = \frac{(\sqrt{x+2} - 8x)\cdot \sqrt{x}}{x - 2} \] Ответ: после упрощения выражение требует дополнительных преобразований, конечная форма не указана.
   2. \[ \frac{3xy}{x - y} - \frac{y^2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y} - \frac{y\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y} = \frac{3xy - y^2\sqrt{x} - y^2\sqrt{y} - yx + y\sqrt{xy}}{x - y} \] Ответ: требует дальнейшего упрощения.
3. 1. \[ \frac{x}{x-1} - \frac{5}{x+1} = \frac{2}{x^2-1} \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \text{ (x=1 не входит в ОДЗ)} \] Ответ: $\boxed{3}$
   2. \[ (x + 2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = x + 2 \quad \Rightarrow \quad t = \pm2 \quad \Rightarrow \quad x = 0;\, -4 \] Ответ: $\boxed{0}; \boxed{-4}$
   3. \[ \frac{|3x + 2| + x + 2}{x + 3} = 1 \quad \Rightarrow \quad |3x + 2| = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3};\, -1 \] Ответ: $\boxed{-\frac{1}{3}}; \boxed{-1}$
4. ОДЗ: \[ 7 - 3x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{7}{3} \] \[ 2(x + 2) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -2 \] Ответ: $\boxed{x \in [-2;\, \frac{7}{3})}$
5. 1. Метод интервалов: критические точки \(x = 1,\, 3,\, 4,\, 5\) \[ x \in (-\infty;\, 1] \cup \{3\} \cup (4;\, 5] \] Ответ: $\boxed{(-\infty;\, 1] \cup \{3\} \cup (4;\, 5]}$
   2. \[ 4x^2 + 15x - 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty;\, -4) \cup \left(\frac{1}{4};\, \infty\right) \] Ответ: $\boxed{(-\infty;\, -4) \cup \left(\frac{1}{4};\, \infty\right)}$
6. Собственная скорость \(v\): \[ \frac{45}{v + 3} + \frac{38}{v - 3} = \frac{17}{4} \quad \Rightarrow \quad v = \frac{332 + \sqrt{114916}}{34} \] Ответ: $\boxed{\frac{332 + \sqrt{114916}}{34}}$
7. Квадратное уравнение: \[ \left(x - \frac{3}{2}\right)\left(x + \frac{1}{4}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad 8x^2 - 10x - 3 = 0 \] Ответ: $\boxed{8x^2 - 10x - 3 = 0}$
8. График функции \(y = x^2 - 5|x| + 6\) симметричен относительно оси \(Oy\), состоит из двух парабол: \[ y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6 & x \geq 0 \\ x^2 + 5x + 6 & x < 0 \end{cases} \]
9. Двузначное число \(\overline{xy}\): \[ \begin{cases} 10x + y = 4(x + y) + 5 \\ x^2 + y^2 = 25 \\ \end{cases} \] Ответ: противоречивое условие.
10. Катеты \(a\) и \(b\): \[ a - b = 21,\quad a^2 + b^2 = 39^2 \quad \Rightarrow \quad b = 15 \] Ответ: $\boxed{15}$
11. Площадь трапеции: \[ \text{Большее основание} = 11 + 2 \cdot 6 = 23,\quad S = \frac{11 + 23}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 34\sqrt{3} \] Ответ: $\boxed{34\sqrt{3} \text{ см}^2}$